1. Евклидовы пространства

Евклидовы пространства

Скалярное произведение

Скалярное произведение

• Def. Скалярным произведением называется функция $\nu :L\times L⟶\mathbb{R}$ (то есть функция, сопоставляющая паре векторов пространства вещественное число), такая что $\forall a,b,c\in L,\forall \alpha ,\beta \in \mathbb{R}$ Выполнены свойства: ^6c2941
  1. Линейность: $\nu (\alpha a+\beta b,c)=\alpha \nu (a,c)+\beta \nu (b,c)$
     Это свойство можно разбить на два, рассматривая их отдельно: ^07e7bf
     • $\nu (a+b,c)=\nu (a,c)+\nu (b,c)$
     • $\nu (\alpha a,b)=\alpha \nu (a,b)$
  2. Симметричность: $\nu (a,b)=\nu (b,a)$
  3. Положительная определённость: $\nu (a,a)>0$ при $a\ne 0$

Обозначение: $\nu (a,b)=(a,b)$

Замечание

Скалярным произведением называется и функция из определения, и число $(a,b)$, т.е. результат применения этой функции к паре векторов.

евклидовопространство

Ссылка на оригинал

---

Евклидово пространство

Вещественное евклидово пространство

Def. Евклидовым пространством будем называть вещественное Линейное пространство со скалярным произведением

Примеры

1. Известное пространство геометрических векторов $V^3$ с привычным скалярным произведением $(a,b)=|a|\cdot |b|\cdot \cos (\widehat{a,b})$
   Свойства из определения скалярного произведения были доказан. Собственно говоря, как произвольное линейное пространство можно рассматривать как обобщение пространства $V^3$, так и приведённое в начале лекции определение скалярного произведения является обобщением скалярного произведения в $V^3$.
2. ${\mathbf{R}}^n,a={\left(a_1,a_2,\dots ,a_n\right)}^T,b={\left(b_1,b_2,\dots ,b_n\right)}^T$
   $(a,b)=a_1{b}_1+a_2{b}_2+\dots +a_n{b}_n$
   Такое Скалярное произведение в ${\mathbf{R}}^n$ считается стандартным.
3. В пространстве $F$ функций, непрерывных на отрезке $[a,b]$, можно задать Скалярное произведение следующим образом:
   $(f,g)={\int }_a^{b}f(x)\cdot g(x)dx$
   (выполнение свойств скалярного произведения проверьте самостоятельно)

евклидовопространство

Ссылка на оригинал

---

Норма вектора

Норма вектора

Def. Нормой вектора $x$ называется величина $\Vert x\Vert =\sqrt{(x,x)}$ (скалярный квадрат). Норма обобщает понятие длины вектора.

евклидовопространство

Ссылка на оригинал

---

Теорема 1. Неравенство Коши-Буняковского

Теорема. Неравенство Коши-Буняковского

Теорема

$$\begin{array}{rl}& \forall x,y\in V\\ & (x,y{)}^2\le (x,x)(y,y)\end{array}$$

Доказательство

Рассмотрим скалярный квадрат вектора $x+\alpha y,\alpha \in \mathbf{R}$ :
$(x+\alpha y,x+\alpha y)=(x,x)+2\alpha (x,y)+{\alpha }^2(y,y)\ge 0$ (по свойству 3)
$⟹$ дискриминант уравнения относительно $\alpha :\frac{D}{4}=(x,y{)}^2-(x,x)(y,y)\le 0$
$⟹(x,y{)}^2\le (x,x)(y,y)$

Замечание 1

В обозначениях нормы неравенство Коши-Буняковского будет выглядеть так:
$(x,y{)}^2\le \Vert x{\Vert }^2\Vert y{\Vert }^2$

Замечание 2

Поскольку $(x,y{)}^2\le \Vert x{\Vert }^2\Vert y{\Vert }^2⟺|(x,y)|\le \Vert x\Vert \Vert y\Vert ⟺\frac{|(x,y)|}{\Vert x\Vert \Vert y\Vert }\le 1⟺$
$⟺-1\le \frac{(x,y)}{\Vert x\Vert \Vert y\Vert }\le 1$, дробь $\frac{(x,y)}{\Vert x\Vert \Vert y\Vert }$ можно назвать “косинусом угла” между векторами $x$ и $y$
В таком случае $(x,y)=\Vert x\Vert \Vert y\Vert \cos (x\widehat{,}y)$

евклидовопространство

Ссылка на оригинал

---

Ортогональные векторы

Ортогональные векторы

Def. Векторы $x,y\in L$ называются ортогональными, если их скалярное произведение $(x,y)=0$
Обозначение: $x\perp y$

евклидовопространство

Ссылка на оригинал

---

Ортогональный и ортонормированный базисы

Ортогональный и ортонормированный базисы

Def. Базис $g_1,g_2,\dots g_n$ евклидова пространства $L$ называется ортогональным, если векторы ортогональны т.е. $g_i\perp g_j$ при $i\ne j$

Def. Ортогональный базис $g$ называется ортонормированным, если $\Vert g_i\Vert =1$
$\forall i=1\dots n$

евклидовопространство

Ссылка на оригинал

---

Дополнительные свойства Евклидового пространства

Дополнительные свойства евклидового пространства

1. Вектор $\theta$ ортогонален всем векторам линейного пространства.
2. Если скалярное произведение $(x,x)=0$, то $x=\theta$

   Докажите самостоятельно

Замечание

Из определений нормы и ортогональности следует теорема Пифагора: $(x,y)=0⟹\Vert x+y{\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2$

евклидовопространство

Ссылка на оригинал

---

Теорема 2. Неравенство Минковского

Теорема. Неравенство Минковского

Теорема

При любых $x,y$ из евклидова пространства $L$ верно: $\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert$Данное утверждение это аналог неравенства треугольника для евклидова пространства.

Доказательство

$\Vert x+y{\Vert }^2=(x+y,x+y)=(x,x)+2(x,y)+(y,y)$
Далее, согласно корню из неравенства Коши-Буняковского для $(x,y)$ :
$\Vert x+y{\Vert }^2\le (x,x)+2\Vert x\Vert \Vert y\Vert +(y,y)=\Vert x{\Vert }^2+2\Vert x\Vert \Vert y\Vert +\Vert y{\Vert }^2=(\Vert x\Vert +\Vert y\Vert {)}^2$.
Следовательно, $\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert$

Примеры

1. $V^3$ - Неравенство треугольника в “чистом виде”
2. ${\mathbf{R}}^n$ $\Vert x+y\Vert =\sqrt{{\left(x_1+y_1\right)}^2+\dots +{\left(x_n+y_n\right)}^2}\le \sqrt{x_1^2+\dots +x_n^2}+\sqrt{y_1^2+\dots +y_n^2}=\Vert x\Vert +\Vert y\Vert$
3. $F,(f,g)={\int }_a^{b}f(x)\cdot g(x)dx$
   $\sqrt{{\int }_a^b(f(x)+g(x){)}^{2}dx}\le \sqrt{{\int }_a^b{f}^2(x)dx}+\sqrt{{\int }_a^b{g}^2(x)dx}$

евклидовопространство

Ссылка на оригинал

---

Расстояние между векторами

Расстояние между векторами

Def. Пусть $x,y\in L$. Расстоянием между векторами $x$ и $y$ будем называть величину
$\rho (x,y)=$ $\Vert y-x\Vert$ (норма разности двух векторов)

Свойства

1. $\rho (x,y)=\rho (y,x)$
2. $\rho (x,y)\ge 0$

   Первые два свойства следуют из определения нормы и скалярного произведения.

3. Расстояние удовлетворяет неравенству треугольника: $\forall x,y,z\in L\rho (x,y)\le \rho (x,z)+\rho (z,y)$

   Следует из неравенства Минковского

евклидовопространство

Ссылка на оригинал

---

Ортогональность вектора и подпространства

Ортогональность вектора и подпространства

Def. Пусть $U\le V$ (обозначение подпространства). Будем говорить, что вектор $x\in V$ ортогонален подпространству $U(x\perp U)$, если для любого элемента $y\in U$ верно, что $(x,y)=0$Заметим, что, если $u_1,u_2,\dots ,u_m-$ базис $U$, то $(x,y)=\left(x,y_1{u}_1+y_2{u}_2+\dots +y_m{u}_m\right)=y_1\left(x,u_1\right)+y_2\left(x,u_2\right)+\dots +y_m\left(x,u_m\right)$т.е. для того чтобы вектор был ортогонален подпространству достаточно, чтобы он был ортогонален базису этого подпространства.

евклидовопространство

Ссылка на оригинал

---

Проекция вектора на подпространство

Проекция вектора на подпространство

Проекция вектора на подпространстово

Пусть $U\le V$, $x\notin U,x_0\in U,x-x_0=h\perp U$ ¹
Тогда вектор $x_0$ называется проекцией вектора $x$ на подпространство $U$

Расстоние от вектора до подпространства

Beктор $h=x-x_0$, где $x_0$ – проекция вектора $x$ на подпространство $U$, называется перпендикуляром из вектора $x$ на подпространство $U$ (ортогональная составляющая относительно подпространства).
Расстоянием от вектора до подпространства называется длина такого перпендикуляра.

евклидовопространство

Footnotes

1. $h\perp U$ - Ортогональность вектора и подпространства ↩

Ссылка на оригинал

---

Теорема 3. Проекция вектора на подпространство

Теорема. Проекция вектора на подпространство

Теорема

Если $x_0$ - проекция $x$ на подпространство $U,x_1\in U,x_1\ne x_0$, то норма$\Vert x-x_0\Vert \le \Vert x-x_1\Vert$

Доказательство

По теореме Пифагора (так как ортогональны $\left(x-x_0\right)\perp \left(x_0-x_1\right)\in U)$ :
${\Vert x-x_1\Vert }^2={\Vert x-x_0+x_0-x_1\Vert }^2={\Vert x-x_0\Vert }^2+{\Vert x_0-x_1\Vert }^2$
т.е. $\Vert x-x_0\Vert \le \Vert x-x_1\Vert$

евклидовопространство

Ссылка на оригинал

---

Теорема 4. Единственность проекции вектора на подпространство

Теорема. Единственность проекции вектора на подпространство

Теорема

Пусть $U$ подпространство ($U\le V),x\notin U$. Тогда существует единственный вектор

$$x_0\in U:\left(x-x_0\right)\perp U$$

Доказательство

Пусть $e_1,e_2,\dots ,e_m-$ базис $U,x_0\in U$. Тогда
$x_0={\alpha }_1{e}_1+{\alpha }_2{e}_2+\dots +{\alpha }_m{e}_m$
Если $\left(x-x_0\right)\perp U$, то в частности:

$$\left(x-x_0,e_1\right)=0,\left(x-x_0,e_2\right)=0,\dots ,\left(x-x_0,e_m\right)=0$$

т.е. мы получаем систему из $m$ уравнений с $m$ неизвестными:

$$\{\begin{array}{l}\left({\alpha }_1{e}_1+{\alpha }_2{e}_2+\dots +{\alpha }_m{e}_m,e_1\right)=\left(x,e_1\right)\\ \left({\alpha }_1{e}_1+{\alpha }_2{e}_2+\dots +{\alpha }_m{e}_m,e_2\right)=\left(x,e_2\right)\\ \dots \\ \left({\alpha }_1{e}_1+{\alpha }_2{e}_2+\dots +{\alpha }_m{e}_m,e_m\right)=\left(x,e_m\right)\end{array}$$

Разложим левые части уравнений в сумму $m$ скалярных произведений по свойству линейности и запишем матрицу коэффициентов этой системы уравнений:

$$\left(\begin{array}{cccc}\left(e_1,e_1\right)& \left(e_2,e_1\right)& \dots & \left(e_m,e_1\right)\\ \left(e_1,e_2\right)& \left(e_2,e_2\right)& \dots & \left(e_m,e_2\right)\\ \dots & & & \\ \left(e_1,e_m\right)& \left(e_2,e_m\right)& \dots & \left(e_m,e_m\right)\end{array}\right)=A$$

Её определитель не может быть равен нулю. В противном случае нашлась бы строка, выражающаяся через другие с коэффициентами ${\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_m$, например, первая. Вычтем из неё соответствующую линейную комбинацию, получим строку:

$$\left(\left(e_1,e_1-{\lambda }_2{e}_2-\dots -{\lambda }_m{e}_m\right)\left(e_2,e_1-{\lambda }_2{e}_2-\dots -{\lambda }_m{e}_m\right)\dots \left(e_m,e_1-{\lambda }_2{e}_2-\dots -{\lambda }_m{e}_m\right)\right),$$

где все элементы - нули
Таким образом, нашёлся вектор $e_1-{\lambda }_2{e}_2-\dots -{\lambda }_m{e}_m\in U$, ортогональный всем элементам базиса и, следовательно, всем векторам подпространства. Этим вектором может быть только $\theta$, т.е.

$$e_1-{\lambda }_2{e}_2-\dots -{\lambda }_m{e}_m=\theta$$

и элементы линейно зависимы, что невозможно, так как это базис

Следовательно, решение единственно, а, значит, у каждого вектора существует единственная ортогональная проекция на подпространство.

евклидовопространство

Ссылка на оригинал

---

Матрица Грама

Матрица Грама

Def. Матрица $A$ из доказательства теоремы о единственности проекции вектора на подпространство называется матрицей Грама векторов $e_1,e_2,\dots ,e_n$

Замечание

В процессе доказательства теоремы было получено важное свойство: Определитель матрицы Грама равен нулю, тогда и только тогда, когда векторы $e_1,e_2,\dots ,e_n$ линейно зависимы. Поясните самостоятельно.

евклидовопространство

Ссылка на оригинал

---

По итогам лекции нужно знать:

1. Понятия:

   • Вещественное евклидово пространство
   • Скалярное произведение
   • Норма вектора
   • Ортогональность
   • Ортогональный и ортонормированный базисы
   • Расстояние между векторами
   • Проекция вектора на подпространство
   • Перпендикуляр из вектора на подпространство
   • Матрица Грама
   • Проекция вектора на вектор (геометрическая)

2. Неравенство Коши-Буняковского

3. Неравенство Минковского

4. Условие равенства нулю матрицы Грама

5. Примеры скалярного произведения

6. Основные теоретические факты с доказательствами

евклидовопространство