2. Подпространства

Подпространства

Подпространство

Def 1. Непустое множество $U\subseteq V$ называется подпространством линейного пространства $V$ (обозначается $U\le V$ ), если $U$ само является линейным пространством по операциям сложения и умножения на элементы поля, унаследованным из $V$

линейноепространство

Ссылка на оригинал

---

Теорема 1. Критерий подпространства

Теорема. Критерий подпространства

Теорема

$$\begin{array}{rl}& \forall V\in \mathrm{Vect},U\subseteq V:\\ & U\le V⟺(U\ne \varnothing \wedge \forall x,y\in U,\forall \alpha ,\beta \in P:\alpha x+\beta y\in U).\end{array}$$

$U\subseteq V$ - обозначение подмножества
$U\le V$ - обозначение подпространства

Смысл: вместо проверки восьми аксиом векторного пространства, можно взять уже известное векторное пространство (если наше Множество является его подмножеством) и проверить только одно свойство.

Доказательство

1. Необходимость:
   Пусть $U$ - подпространство линейного пространства $V$ над полем $P$ (т.е. само является линейным пространством над тем же полем).
   По определению линейного пространства множество $U$ является замкнутым относительно умножения векторов из $U$ на элементы из поля $P$, поэтому $\alpha x,\beta y\in U$.Также оно замкнуто относительно сложения, т.е. $\alpha x+\beta y\in U$

2. Достаточность:
   Пусть выполняются условие из правой части утверждения. Покажем, что $U$ - подпространство векторного пространства $V$. В силу определения подпространства, достаточно показать, что $U$ векторное пространство над полем $P$:

   Из условия $\forall x,y\in U,\alpha ,\beta \in P(\alpha x+\beta y\in U)$ следует, что множество $U$ замкнуто относительно сложения и относительно умножения элементов из $U$ на элементы из поля $P$.

   Проверим для $U$ выполнимость аксиом линейного пространства. Заметим что, так как $U\subseteq V$ и $V$ - линейное пространство над полем $P$, то в $U$ выполняются аксиомы 1,2,5-8.
   Покажем, что аксиомы 3 и 4 также выполнены:

   • Если $u\in U$, то $0\cdot u=\theta$ , т.е. $\theta \in U$. Аксиома 3 выполнена.

   • Также $-1\cdot u=-u$ , т.е. обратный элемент также содержится в $U$ и выполнена аксиома 4

Примеры

1. $M_1$ - множество вещественных матриц вида $\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ 0& a_{22}\end{array}\right),M_2=M_{2\times 2}(\mathbf{R})$, $M_1\le M_2,\dim M_1=3,\dim M_2=4$
   ¹

2. $U=\left\{\left(0,a_2,a_3,\dots ,a_n\right)\mid a_i\in \mathbf{R},i=2,\dots ,n\right\},U\le {\mathbf{R}}^n,\dim {\mathbf{R}}^n=n,\dim U=n-1$.
   ¹²

линейноепространство

Footnotes

1. $\dim$ - Размерность линейного пространства ↩ ↩²

2. $U=\{|\}$ - Способ задать множество ↩

Ссылка на оригинал

---

Линейные оболочки

Линейная оболочка

Def. Линейной оболочкой векторов $b_1,b_2,\dots ,b_m$ линейного пространства $L$ называется Множество всевозможных линейных комбинаций данных векторов.

Обозначается угловыми скобками: $<b_1,\dots ,b_m>=\left\{{\alpha }_1{b}_1+\dots +{\alpha }_m{b}_m\mid {\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m\in P\right\}$
При этом говорят, что линейная оболочка натянута на векторы $b_1,\dots ,b_m$

линейноепространство

Ссылка на оригинал

---

Теорема 2. Линейная оболочка

Теорема. Линейная оболочка

Теорема

Линейная оболочка векторов $b_1,b_2,\dots ,b_m$ является минимальным подпространством пространства $L$, содержащим векторы $b_1,b_2,\dots ,b_m$.

Доказательство

Сначала покажем, что это действительно Подпространство.
Очевидно, что $<b_1,\dots ,b_m>\subseteq L$, а, значит, аксиомы 1,2,5-8 опять проверять не нужно. Необходимо проверить замкнутости относительно сложения векторов и умножения на элементы поля , а также аксиомы 3 и 4:

• Замкнутость по сложению: ${\alpha }_1{b}_1+\dots +{\alpha }_m{b}_m+{\beta }_1{b}_1+\dots +{\beta }_m{b}_m=\left({\alpha }_1+{\beta }_1\right)b_1+\dots +\left({\alpha }_m+{\beta }_m\right)b_m$ т.е. мы получили новую линейную комбинацию, а, следовательно, элемент $⟨b_1,\dots ,b_m⟩$

• Замкнутость по умножению на элементы поля: распишите самостоятельно

• Тривиальная линейная комбинация показывает выполнение аксиомы 3

• Комбинация $-{\alpha }_1{b}_1-\dots -{\alpha }_m{b}_m$ обеспечивает выполнение аксиомы 4

Пусть $U\le L$ и $b_1,b_2,\dots ,b_m\in U$. Несложно видеть, что любая линейная комбинация элементов $b_1,b_2,\dots ,b_m$ будет содержаться в $U$ (так как оно является пространством), следовательно, $<b_1,\dots ,b_m>\subseteq U$

Теорема доказана.

Замечание 1

Поскольку все элементы линейной оболочки $<b_1,\dots ,b_m>$ выражаются через сами векторы $b_1,\dots ,b_m$, то для своей линейной оболочки они являются системой образующих. Если данные векторы линейно независимы, то они же являются базисом линейной оболочки. Если линейно зависимы, то максимальная линейно независимая совокупность векторов, выбранных из $b_1,\dots ,b_m$, образует базис линейной оболочки.

Замечание 2

Любое Линейное пространство является линейной оболочкой своего базиса

Примеры

• $<(1,0,0{)}^T,(1,1,0{)}^T,(0,2,0{)}^T>={\mathbf{R}}^2$
• $⟨x^5,x^3,x⟩=\left\{a{x}^5+b{x}^3+cx\mid a,b,c\in \mathbf{R}\right\}$
• $<(1,1,1{)}^T,(1,1,2{)}^T,(1,2,1{)}^T>={\mathbf{R}}^3$

линейноепространство

Ссылка на оригинал

---

Теорема 3. Связь столбца координат в двух базисах (Матрица перехода)

Теорема. Связь столбца координат в двух базисах (Матрица перехода)

Теорема

Пусть в линейном пространстве $L$ заданы два базиса: $g_1,g_2,\dots ,g_n$ и $f_1,f_2,\dots ,f_n$. Разложим второй базис по первому:
$f_1=a_{11}{g}_1+a_{12}{g}_2+\dots +a_{1n}{g}_n$
$f_2=a_{21}{g}_1+a_{22}{g}_2+\dots +a_{2n}{g}_n$
$f_n=a_{n1}{g}_1+a_{n2}{g}_2+\dots +a_{nn}{g}_n$
Теорема: Пусть $x\in L$ и $x_g$ - координаты $x$ в базисе $g$, а $x_f$ - координаты $x$ в базисе $f$.
Тогда координаты вектора в двух данных базисах связаны следующим образом:

$$x_g=C_{g\to f}\cdot x_f$$

где $G_{g\to f}$ - матрица перехода от $g$ к $f$, столбцы которой это координаты $f_i$ в базисе $g$ :

$$C_{g\to f}=\left(\begin{array}{llll}{\left(f_1\right)}_g& {\left(f_2\right)}_g& \dots & {\left(f_n\right)}_g\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{21}& \dots & a_{n1}\\ a_{12}& a_{22}& \dots & a_{n2}\\ \dots & & & \\ a_{1n}& a_{2n}& \dots & a_{nn}\end{array}\right)$$

Доказательство

Пусть $x_g={\alpha }_1{g}_1+\dots +{\alpha }_n{g}_n$ и $x_f={\beta }_1{f}_1+\dots +{\beta }_n{f}_n$, или в координатах:
$x_g={\left({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n\right)}^T,x_f={\left({\beta }_1,\dots ,{\beta }_n\right)}^T$.
Подставим в $x$ вместо векторов $f_i$ их выражения в базисе $g$ : $x={\beta }_1\left(a_{11}{g}_1+a_{12}{g}_2+\dots +a_{1n}{g}_n\right)+\dots +{\beta }_n\left(a_{n1}{g}_1+a_{n2}{g}_2+\dots +a_{nn}{g}_n\right)$

Так как разложение по базису единственно, то:

$$\begin{array}{rl}& {\alpha }_1={\beta }_1{a}_{11}+{\beta }_2{a}_{21}+\dots +{\beta }_n{a}_{n1},\\ & {\alpha }_2={\beta }_1{a}_{12}+{\beta }_2{a}_{22}+\dots +{\beta }_n{a}_{n2},\\ & \dots \\ & {\alpha }_n={\beta }_1{a}_{1n}+{\beta }_2{a}_{2n}+\dots +{\beta }_n{a}_{nn},\end{array}$$

или в матричном виде:

$$\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ {\alpha }_2\\ \dots \\ {\alpha }_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{21}& \dots & a_{n1}\\ a_{12}& a_{22}& \dots & a_{n2}\\ \dots & & & \\ a_{1n}& a_{2n}& \dots & a_{nn}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{\beta }_1\\ {\beta }_2\\ \dots \\ {\beta }_n\end{array}\right)$$

(поясните, почему определитель $\det C_{g\to f}\ne 0$ )

Таким образом, мы получили, что $x_g=C_{g\to f}\cdot x_f$

Следствие

$C_{f\to g}=C_{g\to f}^{-1}$
где $C_{g\to f}^{-1}$ - Обратная матрица

Замечание

Рассмотрим ещё раз пространство ${\mathbf{R}}^n$ с его естественным базисом$e_1=(1,0,\dots ,0{)}^T,\dots ,e_n=$ $(0,0,\dots ,1{)}^T$.
Пусть $f_1,f_2,\dots ,f_n$ - какой-то другой базис данного пространства. Матрицу, столбцы которой представляют собой координаты векторов $f_1,f_2,\dots ,f_n$ в стандартном базисе будем называть матрицей данного базиса. Обозначим её за $F$. Очевидно, что в данном случае $F=C_{e\to f}$

линейноепространство

Ссылка на оригинал

---

Сумма и пересечение подпространств

Сумма и пересечение подпространств

Пусть $L_1,L_2\le L$. Дадим несколько определений.

Def. Пересечением подпространств $L_1$ и $L_2$ называется Множество, обозначаемое $L_1\cap L_2$ и состоящее из векторов, входящих одновременно в оба подпространства, т.е.
$L_1\cap L_2=\left\{x\in L\mid x\in L_1,x\in L_2\right\}$.

Def. Суммой подпространств $L_1$ и $L_2$ называется Множество, обозначаемое $L_1+L_2$ и состоящее из всевозможных сумм векторов этих двух подпространств, т.е.
$L_1+L_2=\left\{v\in L\mid v=u+w,u\in L_1,w\in L_2\right\}$.

линейноепространство

Ссылка на оригинал

---

Теорема 4. Суть подпространства

Теорема. Суть подпространства

Теорема

Сумма и пересечение подпространств суть подпространства пространства $L$

Доказательство

Согласно критерию подпространства, необходимо доказать, что $\forall x,y\in L_1\cap L_2,\alpha ,\beta \in P\left(\alpha x+\beta y\in L_1\cap L_2\right)$Аналогично для $L_1+L_2$.

Итак, пусть $x,y\in L_1\cap L_2$.
По определению пересечения подпространств, $x,y\in L_1$ и $x,y\in L_2$. Применив критерий подпространства к $L_1$ и $L_2$ по отдельности, получим, что при любых $\alpha ,\beta \in P$ будет выполнено: $\alpha x+\beta y\in L_1$ и $\alpha x+\beta y\in L_2$, т.е. $\alpha x+\beta y\in L_1\cap L_2$

Теперь пусть $x,y\in L_1+L_2$.
По определению суммы подпространств, это означает, что $x=x_1+x_2,y=y_1+y_2$ при некоторых $x_1,y_1\in L_1,x_2,y_2\in L_2$
Тогда $\alpha x+\beta y=\left(\alpha x_1+\beta y_1\right)+\left(\alpha x_2+\beta y_2\right)$, где $\alpha x_1+\beta y_1\in L_1,\alpha x_2+\beta y_2\in L_2$ (так как $L_1,L_2$ - подпространства), т.е. $\alpha x+\beta y$ также представлен в виде суммы векторов из $L_1$ и $L_2$ и принадлежит сумме подпространств.

Теорема доказана.

Замечание

В общем случае вектор $v$ из суммы подпространств можно разложить в сумму $u+w$ из определения не единственным образом.

Например, если $L={\mathbf{R}}^3,L_1=\left\{{\left(a_1,a_2,0\right)}^T\mid a_1,a_2\in \mathbf{R}\right\},L_2=\left\{{\left(0,b_2,b_3\right)}^T\mid b_2,b_3\in \mathbf{R}\right\}$, то для вектора $(1,1,1{)}^T\in L_1+L_2$ (здесь сумма подпространств совпадает с самим пространством $L$ ) выполнены равенства: $\begin{array}{rl}(1,1,1{)}^T& =(1,1,0{)}^T+(0,0,1{)}^T\\ (1,1,1{)}^T& =(1,0,0{)}^T+(0,1,1{)}^T\end{array}$
$\text{ где }(1,1,0{)}^T,(1,0,0{)}^T\in L_1,(0,1,1{)}^T,(0,0,1{)}^T\in L_2$

линейноепространство

Ссылка на оригинал

---

Прямая сумма

Прямая сумма подпространств

Def 1. Прямая сумма. Пусть $L_1+L_2=V$. Если любой вектор $v\in V$ представим единственным образом в виде суммы $v_1+v_2$, где $v_1\in L_1,v_2\in L_2$, то такая сумма подпространств называется прямой. При этом говорят, что $V$ разложено в прямую сумму подпространств. Обозначение: $V=L_1\oplus L_2$

Def 2. Прямая сумма. Пусть $L_1+L_2=V$. Если пересечение $L_1\cap L_2=\theta$, то такая сумма подпространств называется прямой.

---

Теорема. Эквивалентность определений прямой суммы

Теорема. Эквивалентность определений прямой суммы

Теорема

Определения Def 1 и Def 2 прямой суммы эквивалентны.

Доказательство

Def 1 $⟹$ Def 2 Возьмём вектор $y\in L_1\cap L_2$ и вектор $x=x_1+x_2\in L_1+L_2,x_1\in L_1,x_2\in L_2$
Рассмотрим сумму векторов: $x+y=x_1+x_2+y=\left(x_1+y\right)+x_2$Здесь $x_1+y\in L_1,x_2\in L_2$. С другой стороны:
$x+y=x_1+x_2+y=x_1+\left(y+x_2\right)$, где $x_1\in L_1,x_2+y\in L_2$
Поскольку любой вектор из суммы подпространств имеет единственное разложение такого вида, делаем вывод, что $y=\theta$.

Def 2 $⟹$ Def 1 Пусть $x=x_1+x_2,x=y_1+y_2$, где $x_1,y_1\in L_1,x_2,y_2\in L_2$. Вычитая из первого разложения второе, получим: $\left(x_1-y_1\right)+\left(x_2-y_2\right)=\theta$Обозначим первую разность за $u$, а вторую за $v\left(u\in L_1,v\in L_2\right)$. Тогда $u+v=\theta ⟹u=-v$. Однако из $u\in L_1$ следует, что и $v\in L_1$, т.е. $v\in L_1\cap L_2$. Это возможно в единственном случае если $v=\theta =u$, но тогда $x_1=y_1,x_2=y_2$, т.е. разложение единственно.

линейноепространство

Ссылка на оригинал

линейноепространство

Ссылка на оригинал

---

Теорема 6. Размерность прямой суммы подпространств

Теорема. Размерность прямой суммы подпространств

Теорема

Сумма всех элементов любой строки (или столбца) матрицы $A$, умноженных на их алгебраические дополнения, равна $\det A$.

Доказательство

Для иллюстрации этого факта достаточно сгруппировать входящие в определитель произведения по вхождению в них соответствующего элемента выбранной строки (столбца). Поскольку в каждом произведении должен находиться один элемент $i$-й строки, больше никаких произведений не останется. Получим, что $\det A=a_{i1}{A}_{i1}+a_{i2}{A}_{i2}+\dots +a_{in}{A}_{\text{in }}$

Следствие 1

Сумма произведений произвольных чисел $b_1,b_2,\dots ,b_n$ на алгебраические дополнения какой-нибудь строки (столбца) равна определителю матрицы, у которой эта строка (столбец) заменена числами $b_1,b_2,\dots ,b_n$.

Следствие 2

Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) на алгебраические дополнения другой строки (столбца) равна нулю.

Благодаря следствию 1 мы получили Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками (столбцами).

матрица

Ссылка на оригинал

---

Теорема 7. Размерность суммы двух подпространств

Теорема. Размерность суммы двух подпространств

Теорема

Пусть $L_1,L_2\le V$
$L_1+L_2=L$
$L_1\cap L_2=L_0$
Тогда $\dim L=\dim L_1+\dim L_2-\dim L_0$
т.е. размерность суммы двух подпространств равна сумме их размерностей минус размерность пересечения.

Доказательство

Дополним базис $e_1,\dots ,e_s$ подпространства $L_0$ до базисов $L_1$ и $L_2$ соответственно:
$e_1,\dots ,e_s,g_1,\dots ,g_k-$ базис $L_1$
$e_1,\dots ,e_s,f_1,\dots ,f_l-$ базис $L_2$

• Покажем, что векторы $e_1,\dots ,e_s,g_1,\dots ,g_k,f_1,\dots ,f_l$ линейно независимы:
  Пусть ${\alpha }_1{e}_1+\dots +{\alpha }_s{e}_s+{\beta }_1{g}_1+\dots +{\beta }_k{g}_k+{\gamma }_1{f}_1+\dots +{\gamma }_l{f}_l=\theta$ или
  $x_0+x_1+x_2=\theta$
  для $x_0={\alpha }_1{e}_1+\dots +{\alpha }_s{e}_s,x_1={\beta }_1{g}_1+\dots +{\beta }_k{g}_k,x_2={\gamma }_1{f}_1+\dots +{\gamma }_l{f}_l$
  Тогда $x_0+x_1=-x_2$, а так как $x_0,x_1\in L_1$, то и $x_2\in L_1$
  Но $x_2\in L_2$ как линейная комбинация векторов этого подпространства (ту их часть, которая не выражается через базис $L_1\cap L_2)$.
  Следовательно, $x_2\in L_1\cap L_2=L_0⟹x_2=\theta ,{\gamma }_1=\dots ={\gamma }_l=0$
  Аналогично можно показать, что ${\beta }_i=0(i=1,\dots ,k)$, тогда в линейной комбинации останется ${\alpha }_1{e}_1+\dots +{\alpha }_s{e}_s=\theta ⟹{\alpha }_1=\dots ={\alpha }_s=0$. Линейная независимость доказана.

• Теперь покажем, что любой вектор $L$ можно разложить по векторам $e_1,\dots ,e_s,g_1,\dots ,g_k,f_1,\dots ,f_l$:
  Возьмём произвольный вектор $x\in L$
  $x=x_1+x_2$ при $x_1\in L_1,x_2\in L_2$. Разложим $x_1,x_2$ по своим базисам: $\begin{array}{rl}& x_1={\alpha }_1{e}_1+\dots +{\alpha }_s{e}_s+{\lambda }_1{g}_1+\dots +{\lambda }_k{g}_k,\\ & x_2={\beta }_1{e}_1+\dots +{\beta }_s{e}_s+{\mu }_1{f}_1+\dots +{\mu }_l{f}_l,\end{array}$в свою очередь
  $x=x_1+x_2=\left({\alpha }_1+{\beta }_1\right)e_1+\dots +\left({\alpha }_s+{\beta }_s\right)e_s+{\lambda }_1{g}_1+\dots +{\lambda }_k{g}_k+{\mu }_1{f}_1+\dots +{\mu }_l{f}_l$
  Оба условия выполнены, т.е. $e_1,\dots ,e_s,g_1,\dots ,g_k,f_1,\dots ,f_l$ - базис $L$

• Теперь посчитаем размерности:
  $\dim L_1=k+s$
  $\dim L_2=l+s$
  $\dim L_0=s$
  $\dim L=k+l+s$
  $⟹\dim L=\dim L_1+\dim L_2-\dim L_0$

Пример

Пусть $L_1=\left\{{\left(a_1,a_2,a_3,0\right)}^T\mid a_1,a_2,a_3\in \mathbf{R}\right\},L_2=\left\{{\left(0,b_2,b_3,b_4\right)}^T\mid b_2,b_3,b_4\in \mathbf{R}\right\}$
Тогда $L_1+L_2={\mathbf{R}}^4$
$L_1\cap L_2=\left\{{\left(0,a_2,a_3,0\right)}^T\mid a_2,a_3\in \mathbf{R}\right\}$
$\dim L_1+\dim L_2-\dim \left(L_1\cap L_2\right)=$ $3+3-2=4=\dim {\mathbf{R}}^4$

линейноепространство

Ссылка на оригинал

---

По итогам лекции нужно знать:

1. Понятия:

   • Подпространство
   • Линейная оболочка
   • Матрица перехода между базисами
   • Пересечение подпространств
   • Сумма подпространств, прямая сумма

2. Критерий подпространства

3. Как находить базис линейной оболочки векторов

4. Устройство и способ нахождения матрицы перехода

5. Связь матриц перехода между базисами

6. Матрица перехода от естественного базиса

7. Формула связи размерностей подпространств

8. Основные теоретические факты с доказательствами

линейноепространство