Теорема. Ортонормированный базис собственных векторов

Теорема

Пусть $A$ — самосопряжённый оператор $n$-мерного евклидова пространства $L$.
Тогда существуют $n$ попарно ортогональных собственных векторов.

Доказательство

По теореме Жордана у матрицы $A$ есть хотя бы одна Жорданова клетка, значит, существует собственный вектор $u_1$ с вещественным собственным числом ${\lambda }_1$:

$$A(u_1)={\lambda }_1{u}_1.$$

Рассмотрим Ортогональное дополнение линейной оболочки $<u_1>$

$$L_{u_1}^{\perp }=\{x\in L\mid (x,u_1)=0\}.$$

Его размерность равна $n-1$. Для любого $x\in L_{u_1}^{\perp }$ имеем

$$(A(x),u_1)=(x,A(u_1))=(x,{\lambda }_1{u}_1)={\lambda }_1(x,u_1)=0,$$

значит $A(x)\in L_{u_1}^{\perp }$ и $L_{u_1}^{\perp }$ инвариантно.

Сужение $A{|}_{L_{u_1}^{\perp }}$ остаётся самосопряжённым, поэтому в этом подпространстве найдётся собственный вектор $u_2\perp u_1$.
Повторяя рассуждение, получаем последовательность

$${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$$

и $n$ попарно ортогональных собственных векторов

$$u_1,u_2,\dots ,u_n.$$

Следствие

Для самосопряжённого оператора $A$ существует ортонормированный базис из собственных векторов, в котором матрица $A$ диагональна с вещественными собственными числами.

Замечание

Матрица перехода к этому ортонормированному базису является ортогональной.

линейныйоператор