Скалярное произведение

• Def. Скалярным произведением называется функция $\nu :L\times L⟶\mathbb{R}$ (то есть функция, сопоставляющая паре векторов пространства вещественное число), такая что $\forall a,b,c\in L,\forall \alpha ,\beta \in \mathbb{R}$ Выполнены свойства: ^6c2941
  1. Линейность: $\nu (\alpha a+\beta b,c)=\alpha \nu (a,c)+\beta \nu (b,c)$
     Это свойство можно разбить на два, рассматривая их отдельно: ^07e7bf
     • $\nu (a+b,c)=\nu (a,c)+\nu (b,c)$
     • $\nu (\alpha a,b)=\alpha \nu (a,b)$
  2. Симметричность: $\nu (a,b)=\nu (b,a)$
  3. Положительная определённость: $\nu (a,a)>0$ при $a\ne 0$

Обозначение: $\nu (a,b)=(a,b)$

Замечание

Скалярным произведением называется и функция из определения, и число $(a,b)$, т.е. результат применения этой функции к паре векторов.

евклидовопространство