Евклидово пространство над полем комплексных чисел

Напомним, что Евклидово пространство - Линейное пространство со скалярным произведением

• Def. Скалярным произведением в комплексном векторном пространстве $L$ называется Функция $\nu :L\times L⟶\mathbb{C}$такая, что для всех $a,b,c\in L$ и $\alpha ,\beta \in \mathbb{C}$ выполнены свойства:
  1. Линейность: $$(a+b,c)=(a,c)+(b,c),(\alpha a,b)=\alpha (a,b),(a,\beta b)=\overline{\beta }(a,b).$$
  2. Эрмитова симметрия: $$(a,b)=\overline{(b,a)}.$$
  3. Положительная определённость: $$(a,a)>0\text{при }a\ne 0.$$

В ортонормированном базисе $\{e_i\}$ для $x={\sum }_{i=1}^n{x}_i{e}_i,y={\sum }_{i=1}^n{y}_i{e}_i$скалярное произведение имеет вид ¹ $(x,y)={\sum }_{i=1}^n{x}_i\overline{y_i}.$

Свойство

Для оператора $A$ в комплексном ортонормированном базисе имеем

$$(A(x),y)=(A{x}^T{)}^T\overline{y^T}=x^T{A}^T\overline{y^T},$$

и

$$(x,A^{\ast }(y))=x^T\overline{A^{\ast }}\overline{y^T}.$$

Из равенства

$$(A(x),y)=(x,A^{\ast }(y))$$

для всех $x,y$ по лемме 3 следует

$$A^{\ast }=\overline{A^T},$$

то есть матрица сопряжённого оператора — транспонированная и комплексно-сопряжённая.

Пример

В ортонормированном базисе для матриц сопряжённых операторов имеем:

$${\left(\begin{array}{cc}1-2i& 3\\ 2-3i& i\end{array}\right)}^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}1+2i& 2+3i\\ 3& -i\end{array}\right)$$

евклидовопространство

Footnotes

1. $\overline{y_i}$ - сопряженный вектор (сопряжение происходит по координатам) ↩