2. Определители и их свойства

Определители

Инверсия

Инверсия

Def. Пусть дана последовательность различных чисел $a_1,a_2,\dots ,a_n$, занумерованная естественным образом. Будем говорить, что пара элементов последовательности образует инверсию, если $a_i>a_j$ при $i<j$ (т.е. если нарушается принцип возрастания чисел при увеличении номера).

Пример

В последовательности $(2,3,1,6,4,5)$ инверсии образуют пары $(2,1),(3,1),(6,4),(6,5)$
Таким образом, здесь имеют место четыре инверсии.

матрица

Ссылка на оригинал

---

Определитель

Определитель

Определитель

Пусть дана квадратная матрица $A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ a_{31}& a_{32}& \dots & a_{3n}\\ \dots & & & \\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right)$

Определителем квадратной матрицы $A$ называется сумма всевозможных произведений её элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, и снабжённых знаком, т.е. $\det A=|A|=\sum a_{1j_1}\cdot a_{2j_2}\cdot \dots \cdot a_{n{j}_n}\cdot \mathrm{sign}\left(j_1,j_2,\dots ,j_n\right)$где $\mathrm{sign}\left(j_1,j_2,\dots ,j_n\right)=(-1{)}^k,k$ - количество инверсий в последовательности $j_1,j_2,\dots ,j_n$ номеров столбцов.

Здесь нумерация столбцов $j_1,j_2,\dots ,j_n$ подразумевает, что их номера заранее неизвестны. Известно лишь, что они разные.

Как считать определитель для матриц разного порядка

1. Рассмотрим, как это работает для простейших матриц - второго порядка.

$$\det A_{2\times 2}=\left|\begin{array}{ll}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|=a_{11}\cdot a_{22}\cdot (-1{)}^{inv(1,2)}+a_{21}\cdot a_{12}\cdot (-1{)}^{inv(2,1)}=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$$

Здесь есть только два произведения элементов, взятых по одному из разных строк и столбцов, причём у первой пары сомножителей естественный порядок номеров строк и столбцов (т.е. инверсии отсутствуют), у второй пары есть инверсия по номерам столбцов, поэтому появляется знак ” $-$“.

2. Теперь рассмотрим определитель третьего порядка. Здесь имеют место шесть произведений:

$$\begin{array}{rl}& \left|\begin{array}{lcc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}\cdot (-1{)}^{inv(1,2,3)}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}\cdot (-1{)}^{inv(2,3,1)}+a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32}\cdot (-1{)}^{inv(3,1,2)}\\ & +a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}\cdot (-1{)}^{inv(3,2,1)}+a_{12}\cdot a_{21}\cdot a_{33}\cdot (-1{)}^{inv(2,1,3)}+a_{11}\cdot a_{23}\cdot a_{32}\cdot (-1{)}^{inv(1,3,2)}=\\ & =a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32}-a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}-a_{12}\cdot a_{21}\cdot a_{33}-a_{11}\cdot a_{23}\cdot a_{32},\end{array}$$

Поскольку: $\mathrm{inv}(1,2,3)=0,\mathrm{inv}(2,3,1)=2,\mathrm{inv}(3,1,2)=2,\mathrm{inv}(3,2,1)=3,\mathrm{inv}(2,1,3)=1,$
$\mathrm{inv}(1,3,2)=1$

Один из вариантов для запоминания:

$$\left|\begin{array}{lc}& \\ & a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|\left|\begin{array}{lcc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|\left|\begin{array}{lc}& \\ a_{21}& \\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|$$

Циклически продлеваем вторую строку на один элемент влево и вправо, и третью строку на два элемента влево и вправо. Произведения, начинающиеся с элементов первой строки, вдоль главной диагонали (направо вниз) будут иметь знак ” + ”, произведения вдоль побочной диагонали (налево вниз) - знак ” - “.

Пример

$$\left|\begin{array}{lcc}-2& 0& 3\\ 5& 4& -1\\ 2& 3& 5\end{array}\right|=((-2)\cdot 4\cdot 5+0\cdot (-1)\cdot 2+3\cdot 5\cdot 3)-(3\cdot 4\cdot 2+0\cdot 5\cdot 5+(-2)\cdot (-1)\cdot 3)=-30$$

матрица

Ссылка на оригинал

---

Свойства определителей

Свойства определителей

1. $\det A=\det A^T$

Доказательство

Определитель это алгебраическая сумма слагаемых.
Если слагаемое $a_{1j_1}\cdot a_{2j_2}\cdot \dots \cdot a_{n{j}_n}\cdot \mathrm{sign}\left(j_1,j_2,\dots ,j_n\right)$ содержалось в разложении определителя $\det A$, то в разложении определителя $\det A^T$ будет присутствовать слагаемое, состоящее из тех же сомножителей-элементов матрицы $A$, поскольку если они располагались в разных строках и строках $A$, то они не смогут оказаться в одной строке (одном столбце) транспонированной матрицы $A^T$. И наоборот.

Осталось сравнить знаки. В транспонированной матрице элементы указанного выше произведения окажутся упорядоченными по увеличению номеров столбцов, а количество инверсий по номерам строк в $A^T$ совпадёт с количеством инверсий номеров столбцов в $A$ (здесь мы воспользовались эквивалентным определением с упорядочиванием по возрастанию номеров не строк, а столбцов)

Таким образом, $\det A$ и $\det A^T$ содержат одни и те же произведения в качестве слагаемых суммы, а, значит, равны.

2. Если какой-либо ряд матрицы $A$ является нулевым, то $\det A=0$.

   В этом случае ноль окажется в каждом из произведений, указанных в определении определителя, следовательно, мы получим сумму нулей.

3. Элементарное преобразование первого типа (перестановка параллельных рядов) меняет знак определителя.

Доказательство

Действительно, если мы меняем местами соседние строки, то перестановка меняет чётность:
$a_{1j_1}{a}_{2j_2}\cdot \dots \cdot a_{i{j}_i}\cdot a_{(i+1)j_{i+1}}\cdot \dots \cdot a_{n{j}_n}$
после перестановки $i-$ й и $(i+1)$-й строк превращается в
$a_{1j_1}{a}_{2j_2}\cdot \dots \cdot a_{i{j}_{i+1}}\cdot a_{(i+1)ji}\cdot \dots \cdot a_{n{j}_n}$

Меняется порядок столбцов $j_i$ и $j_{i+1}$. Следовательно, если их номера образовывали инверсию, она пропадает; если не образовывали - появляется.

Если же мы переставляем строки $i$ и $k$, причём $k-i=m$, это равносильно перестановке соседних строк $2m-1$ раз (сначала $m$ перестановок верхней $i$-й строки с соседними вниз, затем $m-1$ перестановка нижней $k$-й строки вверх, так как одна перестановка уже была совершена с верхней).

Аналогично со столбцами.

4. Матрица с двумя одинаковыми строками (столбцами) имеет нулевой определитель.

   Если переставить эти строки, то, с одной стороны, определитель не поменяется, а, с другой, поменяет знак.

5. Элементарное преобразование второго типа (умножение ряда на число, отличное от нуля) умножает общий определитель на это же число.

   Очевидно, что множитель из этого ряда (строки или столбца) окажется в каждом из произведений.

6. Если все элементы $i$-й строки представлены в виде $a_{ij}=\lambda b_{ij}+\mu c_{ij}$, то $\det A=\lambda \det B+\mu \det C$ (индекс $i$ фиксирован), где матрицы $A,B$ и $C$ отличаются только $i-$ й строкой описанным выше способом (т.е. у $B$ в этой строке элементы $b_{ij}$, у $C$ - элементы $c_{ij}$ ).

Доказательство

Для доказательства просто разобьём алгебраическую сумму определителя надвое:
$\sum a_{1j_1}\cdot \dots \cdot \left(\lambda b_{i{j}_i}+\mu c_{i{j}_i}\right)\cdot \dots \cdot a_{n{j}_n}\cdot \mathrm{sign}\left(j_1,j_2,\dots ,j_n\right)$
$=\lambda \sum a_{1j_1}\cdot \dots \cdot b_{i{j}_i}\cdot \dots \cdot a_{n{j}_n}\cdot \mathrm{sign}\left(j_1,j_2,\dots ,j_n\right)+\mu \sum a_{1j_1}\cdot \dots \cdot c_{i{j}_i}\cdot \dots \cdot a_{n{j}_n}\cdot \mathrm{sign}\left(j_1,j_2,\dots ,j_n\right)$

Утверждение справедливо для любого числа слагаемых.

7. (Следствие из 6). Элементарное преобразование третьего типа не меняет величину определителя.

   Это так, поскольку в одной из матриц прибавленная строка (столбец) встретится дважды.

8. Если матрица $A$ содержит пропорциональные строки $(a_{ij}=\lambda a_{kj}$ по всем $j$ при фиксированных $i,k)$, то $\det A=0$. Аналогично для столбцов.

   Следует из 7: достаточно вычесть пропорциональную строку с коэффициентом $\frac{1}{\lambda }$.

9. Если одна из строк $A_i$ (один из столбцов) матрицы $A$ является линейной комбинациейдругих, т.е. $A_i={\alpha }_1{A}_{i_1}+\dots +{\alpha }_k{A}_{i_k}$, то $\det A=0$.

   Обоснуйте самостоятельно, используя свойство 7.

10. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.

матрица

Ссылка на оригинал

---

Алгебраические дополнения и миноры

Алгебраическое дополнение

Алгебраическое дополнение

Определитель $\det A=\sum a_{1j_1}\cdot a_{2j_2}\cdot \dots \cdot a_{n{j}_n}\cdot (-1{)}^N$, т.е. сумма всевозможных произведений элементов со знаком, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца.

Зафиксируем для простоты понимания элемент $a_{11}$. Тогда остальные элементы произведений, входящих в определитель и содержащих этот элемент, будут находиться вне первой строки и первого столбца:

$$\left|\begin{array}{cccc}\underline{a_{11}}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ a_{31}& a_{32}& \dots & a_{3n}\\ \dots & & & \\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right|$$

То есть элементы произведений, содержащих $a_{11}$, будут находиться в подматрице порядка $n-1$, расположенной на пересечении строк и столбцов с номерами $2,3,\dots ,n$.

Теперь выберем только те произведения, входящие в определитель матрицы $A$, которые содержат произвольный фиксированный элемент $a_{st}$ (число $N_1$ использовано для краткости записи) :

$$\sum a_{1j_1}\cdot a_{2j_2}\cdot \dots \cdot a_{st}\cdot \dots \cdot a_{n{j}_n}\cdot (-1{)}^{N_1}=a_{st}\sum a_{1j_1}\cdot a_{2j_2\dots }\cdot a_{(s-1)j_{s-1}}\cdot a_{(s+1)j_{s+1}}\cdot \dots \cdot a_{n{j}_n}\cdot (-1{)}^{N_1}$$

Def. Сумма произведений со знаком, оставшихся после вынесения за скобку элемента $a_{st}$, т.е. число $A_{st}=\sum a_{1j_1}\cdot a_{2j_2}\dots \cdot a_{(s-1)j_{s-1}}\cdot a_{(s+1)j_{s+1}}\cdot \dots \cdot a_{n{j}_n}\cdot (-1{)}^{N_1}$, называется алгебраическим дополнением элемента $a_{st}$.

матрица

Ссылка на оригинал

---

Теорема 1. Об алгебраическом дополнении

Теорема. Свойство алгебраического дополнения

Теорема

Сумма всех элементов любой строки (или столбца) матрицы $A$, умноженных на их алгебраические дополнения, равна $\det A$.

Доказательство

Для иллюстрации этого факта достаточно сгруппировать входящие в определитель произведения по вхождению в них соответствующего элемента выбранной строки (столбца). Поскольку в каждом произведении должен находиться один элемент $i$-й строки, больше никаких произведений не останется. Получим, что

$$\det A=a_{i1}{A}_{i1}+a_{i2}{A}_{i2}+\dots +a_{in}{A}_{\text{in }}$$

Следствие 1

Сумма произведений произвольных чисел $b_1,b_2,\dots ,b_n$ на алгебраические дополнения какой-нибудь строки (столбца) равна определителю матрицы, у которой эта строка (столбец) заменена числами $b_1,b_2,\dots ,b_n$.

Следствие 2

Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) на алгебраические дополнения другой строки (столбца) равна нулю.

Благодаря следствию 1 мы получили Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками (столбцами).

матрица

Ссылка на оригинал

---

Дополнительный минор

Дополнительный минор

Def. Дополнительным минором называется Определитель матрицы ( $n-1$ )-го порядка, который получается из данного определителя порядка $n$ в результате вычеркивания какой-нибудь строки и какого-нибудь столбца. Если вычеркнуты $i$-я строка и $j$-й столбец, минор обозначим как $M_{ij}$.

Замечание

Минор называется дополнительным, во-первых, чтобы подчеркнуть его связь с алгебраическим дополнением элемента, во-вторых, поскольку существует более общее понятие минора

матрица

Ссылка на оригинал

---

Теорема 2. О связи алгебраического дополнения и минора

Теорема. Связь алгебраического дополнения и дополнительного минора

Теорема

Связь алгебраического дополнения и дополнительного минора:

$$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$$

Доказательство

• Сначала пусть $i=j=1$.
  Рассмотрим все слагаемые с $a_{11}$ : $\sum a_{11}\cdot a_{2j_2}\cdot \dots \cdot a_{n{j}_n}\cdot (-1{)}^{inv\left(1,j_2,\dots ,j_n\right)}=a_{11}\sum a_{2j_2}\cdot \dots \cdot a_{n{j}_n}\cdot (-1{)}^{inv\left(j_2,\dots ,j_n\right)}$

  Таким образом, $A_{11}={\sum }_{j_k\ne 1}{a}_{2j_2}\cdot \dots \cdot a_{n{j}_n}\cdot (-1{)}^{inv\left(j_2,\dots ,j_n\right)}$, что, по определению дополнительного минора, равно $M_{11}=(-1{)}^{1+1}{M}_{11}$.

• Теперь пусть $i,j$ - произвольные индексы.
  При перестановке строк (или столбцов)алгебраические дополнения всех элементов меняют знак (почему?).
  Рассмотрим $A_{ij}$. Будем переставлять строки так, чтобы элемент $a_{ij}$ оказался в первой строке. Для этого необходимо совершить $i-1$ перестановку. В итоге матрица примет вид:

  $$\left|\begin{array}{ccccc}{a}_{i1}& \dots & a_{ij}& \dots & a_{in}\\ a_{11}& \dots & a_{1j}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& \dots & a_{2j}& \dots & a_{2n}\\ \dots & & & & \\ a_{(i-1)1}& \dots & a_{(i-1)j}& \dots & a_{(i-1)n}\\ a_{(i+1)1}& \dots & a_{(i+1)j}& \dots & a_{(i+1)n}\\ \dots & & & & \\ a_{m1}& \dots & a_{mj}& \dots & a_{mn}\end{array}\right|$$

  Теперь переставим столбцы так, чтобы $j$-й встал на первое место. Для этого необходимо совершить $j-1$ перестановку. В итоге матрица примет вид:

$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{ij}& a_{i1}& \dots & a_{in}\\ a_{1j}& a_{11}& \dots & a_{1n}\\ a_{2j}& a_{21}& \dots & a_{2n}\\ \dots & & & \\ a_{(i-1)j}& a_{(i-1)1}& \dots & a_{(i-1)n}\\ a_{(i+1)j}& a_{(i+1)1}& \dots & a_{(i+1)n}\\ \dots & & & \\ a_{mj}& a_{m1}& \dots & a_{mn}\end{array}\right|$$

В итоге алгебраическое дополнение $A_{ij}$ элемента $a_{ij}$ поменяло знак $i+j-2$ раза. Теперь оно равно $A_{ij}\cdot (-1{)}^{i+j-2}=A_{ij}\cdot (-1{)}^{i+j}$.

С другой стороны, благодаря предыдущему случаю, оно равно минору первого элемента:

$$A_{ij}\cdot (-1{)}^{i+j}=M_{ij}⟺A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$$

Теорема доказана.

Вывод: мы получили, что определитель любой матрицы можно разложить по любой строке (столбцу) с использованием алгебраических дополнений.

Пример разложения определителя матрицы

$$\begin{array}{rl}& \left|\begin{array}{cccc}-3& 5& 4& -6\\ 2& 0& -4& 3\\ 3& 2& -2& 5\\ 4& -1& 5& -2\end{array}\right|=\\ & \\ & =2\cdot (-1{)}^{2+1}\cdot \left|\begin{array}{ccc}5& 4& -6\\ 2& -2& 5\\ -1& 5& -2\end{array}\right|+0+(-4)\cdot (-1{)}^{2+3}\left|\begin{array}{ccc}-3& 5& -6\\ 3& 2& 5\\ 4& -1& -2\end{array}\right|+3\cdot (-1{)}^{2+4}\cdot \left|\begin{array}{ccc}-3& 5& 4\\ 3& 2& -2\\ 4& -1& 5\end{array}\right|=\\ & \\ & =-2\cdot \left(5\cdot (-1{)}^{1+1}\left|\begin{array}{cc}-2& 5\\ 5& -2\end{array}\right|+4\cdot (-1{)}^{1+2}\left|\begin{array}{cc}2& 5\\ -1& -2\end{array}\right|+(-6)\cdot (-1{)}^{1+3}\left|\begin{array}{cc}2& -2\\ -1& 5\end{array}\right|\right)+\\ & \\ & +4\cdot \left((-3)\cdot (-1{)}^{1+1}\left|\begin{array}{cc}2& 5\\ -1& -2\end{array}\right|+5\cdot (-1{)}^{1+2}\left|\begin{array}{cc}3& 5\\ 4& -2\end{array}\right|+(-6)\cdot (-1{)}^{1+3}\left|\begin{array}{cc}3& 2\\ 4& -1\end{array}\right|\right)+\\ & \\ & +3\cdot \left((-3)\cdot (-1{)}^{1+1}\left|\begin{array}{cc}2& -2\\ -1& 5\end{array}\right|+5\cdot (-1{)}^{1+2}\left|\begin{array}{cc}3& -2\\ 4& 5\end{array}\right|+4\cdot (-1{)}^{1+3}\left|\begin{array}{cc}3& 2\\ 4& -1\end{array}\right|\right)=\\ & \\ & =(-2)\cdot (5\cdot (4-25)-4\cdot (-4+5)-6\cdot (10-2))+4\cdot (-3\cdot (-4+5)-5\cdot (-6-20)-6\cdot (-3-8))+\\ & \\ & +3\cdot (-3\cdot (10-2)-5\cdot (15+8)+4\cdot (-3-8))=537\end{array}$$

матрица

Ссылка на оригинал

---

Умножение матричных блоков

Матричный блок

Def. Блоками будем называть подматрицы, составленные из смежных строк и столбцов, причём Матрица оказывается разделённой на подматрицы по горизонтальным и вертикальным линиям.

матрица

Ссылка на оригинал

---

Теорема 3. Произведение матричных блоков

Теорема. Произведение матричных блоков

Теорема

Пусть даны матрицы $A_{m\times n},B_{n\times l}$, которые разбиты на блоки:

$$A=\left(\begin{array}{ll}{A}_1& A_2\\ A_3& A_4\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ll}{B}_1& B_2\\ B_3& B_4\end{array}\right)$$

Будем считать, что блоки подобраны так, чтобы были возможны произведения
$A_1{B}_1,A_2{B}_3,A_1{B}_2,A_2{B}_4,A_3{B}_1,A_4{B}_3,A_3{B}_2,A_4{B}_4$.

$$AB=\left(\begin{array}{ll}{A}_1{B}_1+A_2{B}_3& A_1{B}_2+A_2{B}_4\\ A_3{B}_1+A_4{B}_3& A_3{B}_2+A_4{B}_4\end{array}\right)$$

Доказательство

Пусть блоки имеют размеры:

$$\begin{array}{rl}& A_1-p\times q\\ & A_2-p\times (n-q)\\ & A_3-(m-p)\times q\\ & A_4-(m-p)\times (n-q),\\ & B_1-q\times s\\ & B_2-q\times (l-s)\\ & B_3-(n-q)\times s,\\ & B_4-(n-q)\times (l-s)\end{array}$$

Рассмотрим элемент $c_{ik}(i\le p,k\le s)$ матрицы произведения $C=AB$ :
$c_{ik}={\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{b}_{jk}={\sum }_{j=1}^q{a}_{ij}{b}_{jk}+{\sum }_{j=q+1}^n{a}_{ij}{b}_{jk}=d_{ik}+f_{ik}$,
где $d_{ik}$ - соответствующий элемент произведения $A_1{B}_1$,
$f_{ik}$ - элемент произведения $A_2{B}_3$.
Аналогично рассматриваются элементы остальных блоков матрицы $AB$.

матрица

Ссылка на оригинал

---

Теорема 4. Определитель матричных блоков

Теорема. Определитель матричных блоков

Теорема

Рассмотрим квадратную матрицу порядка $n$, разбитую на четыре блока, два из которых, расположенные вдоль главной диагонали, квадратные размеров $r$ и $n-r$, а правый верхний нулевой, т.е.

$$A=\left(\begin{array}{cc}{A}_r& \theta \\ A_3& A_{n-r}\end{array}\right)$$

Теорема:

$$\det A=\det A_r\cdot A_{n-r}$$

Доказательство

Распишем матрицу $A$ более подробно:

$$\begin{array}{rl}& \left(\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& \dots & a_{1r}& 0& \dots & 0\\ \dots & & & & & \\ a_{r1}& \dots & a_{rr}& 0& \dots & 0\\ a_{(r+1)1}& \dots & a_{(r+1)r}& a_{(r+1)(r+1)}& \dots & a_{(r+1)n}\\ \dots & & & & & \\ a_{n1}& \dots & a_{nr}& a_{n(r+1)}& \dots & a_{nn}\end{array}\right)\\ & \\ & \det A=\sum a_{1j_1}\cdot a_{2j_2}\cdot a_{r{j}_r}\cdot \dots \cdot a_{(r+1)j_{r+1}}\cdot \dots \cdot a_{n{j}_n}\cdot (-1{)}^{inv\left(j_1,\dots ,j_r,j_{r+1},\dots ,j_n\right)}\end{array}$$

В данных произведениях первые $r$ множителей взяты из $A_r$, последние $n-r$ взяты из $A_{n-r}$. Произведения, содержащие элементы из $A_3$, обязательно содержат 0 из блока $\theta$ ( поясните почему), поэтому их можно не учитывать.

Количество инверсий для всего произведения равно сумме инверсий из $A_r$ и $A_{n-r}$, поскольку между номерами столбцов $A_r$ и столбцов $A_{n-r}$ инверсий нет.

Оба условия соблюдены, получаем требуемое.

Доказательство также можно провести, используя элементарные преобразования первого и третьего типов, при помощи которых матрица А будет приведена к треугольному виду. Тогда её определитель будет представлен произведением диагональных элементов, которое можно разделить на две части. Преобразования третьего типа не меняют значение определителя, поэтому единственное, что необходимо учесть, это совпадение количества смен знака определителя $A$ и определителей $A_r$ и $A_{n-r}$, возникающих при перестановке строк или столбцов.

матрица

Ссылка на оригинал

---

Теорема 5. Определитель произведения матриц

Теорема. Определитель произведения матриц

Теорема

Если $C=A\cdot B$, то

$$\det C=\det A\cdot \det B$$

для $A,B\in M_{n\times n}$

Доказательство

Построим матрицу $D=\left(\begin{array}{cc}A& \Theta \\ -E& B\end{array}\right)$ порядка $2n$.
По теореме об определителе матричных блоков: $\det D=\det A\cdot \det B$.

С другой стороны, пользуясь теоремой о произведении матричных блоков получаем, что

$$\begin{array}{rl}& \det \left(\begin{array}{cc}E& A\\ \Theta & E\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}A& \Theta \\ -E& B\end{array}\right)=\det \left(\begin{array}{cc}\Theta & AB\\ -E& B\end{array}\right)=(-1{)}^n\cdot \det \left(\begin{array}{cc}AB& \Theta \\ B& -E\end{array}\right)=\\ & =(-1{)}^n(-1{)}^n\cdot \det \left(\begin{array}{cc}AB& \Theta \\ B& E\end{array}\right)=\det \left(\begin{array}{cc}AB& \Theta \\ B& E\end{array}\right)=\det AB.\end{array}$$

(в процессе преобразований переставлялись вертикальные блоки и выносился множитель - 1 из матрицы $-E$ )

При умножении на матрицу $\left(\begin{array}{cc}E& A\\ \Theta & E\end{array}\right)$ определитель не меняется, поскольку умножение на треугольную матрицу с единицами на главной диагонали эквивалентно совершению элементарных преобразований третьего типа, не меняющих значение определителя.

Теорема доказана.

матрица

Ссылка на оригинал

---

Линейная зависимость и независимость строк и столбцов

Линейная зависимость и независимость строк и столбцов

Def. Строки (столбцы) $A_1,A_2,\dots ,A_k$ называются линейно независимыми, если из того что их линейная комбинация равна нулевой матрице:

$${\alpha }_1{A}_1+{\alpha }_2{A}_2+\dots +{\alpha }_k{A}_k=\theta$$

следует, что

$${\alpha }_1={\alpha }_2=\dots ={\alpha }_k=0$$

В противном случае строки называются линейно зависимыми.

Пример

1. Любые строки (столбцы) единичной матрицы линейно независимы, так как содержат ненулевые элементы в разных местах.
2. А строки $A_1,A_2,A_4$ матрицы $A$, равной:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& -4& 3\\ -2& 1& -3& -1\\ 0& 5& 4& -2\\ -4& 3& -5& 7\end{array}\right)$$

линейно зависимы, так как $2A_1-A_2-A_4=\Theta$

матрица

Ссылка на оригинал

---

Теорема 6. О линейной зависимости строк

Теорема. Линейная зависимость строк

Теорема

Для того, чтобы система строк (столбцов) $A_1,A_2,\dots ,A_n$ была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы одна из строк (один из столбцов) $A_i$ являлась линейной комбинацией других:

$$A_i={\lambda }_1{A}_1+\dots +{\lambda }_{i-1}{A}_{i-1}+{\lambda }_{i+1}{A}_{i+1}+\dots +{\lambda }_n{A}_n$$

Доказательство

Пусть строки линейно зависимы, т.е. существуют такие ${\alpha }_i$, не все равные нулю, $(i=1,2,\dots ,n)$ что ${\alpha }_1{A}_1+{\alpha }_2{A}_2+\dots +{\alpha }_k{A}_k=\theta$
Пусть для определённости ${\alpha }_i\ne 0$. Тогда:

$$A_i=-\frac{{\alpha }_1}{{\alpha }_i}{A}_1-\dots -\frac{{\alpha }_{i-1}}{{\alpha }_i}{A}_{i-1}-\frac{{\alpha }_{i+1}}{{\alpha }_i}{A}_{i+1}-\dots -\frac{{\alpha }_n}{{\alpha }_i}{A}_n$$

Обратно. Пусть одна из строк является линейной комбинацией остальных:

$$\begin{array}{rl}& A_i={\lambda }_1{A}_1+\dots +{\lambda }_{i-1}{A}_{i-1}+{\lambda }_{i+1}{A}_{i+1}+\dots +{\lambda }_n{A}_n⟹\\ & {\lambda }_1{A}_1+\dots +{\lambda }_{i-1}{A}_{i-1}-A_i+{\lambda }_{i+1}{A}_{i+1}+\dots +{\lambda }_n{A}_n=\Theta .\end{array}$$

матрица

Ссылка на оригинал

---

Свойства линейно зависимых строк и столбцов

Свойства линейно зависимых строк и столбцов

1. Если среди строк (столбцов) $A_1,A_2,\dots ,A_n$ есть пропорциональные, то система $A_1,A_2,\dots ,A_n$ - линейно зависима.

2. Если совокупность строк (столбцов) линейно зависима, то любая большая совокупность строк(столбцов) также линейно зависима.

   В определении линейной зависимости добавим нулевые коэффициенты к новых строкам (столбцам).

3. Если совокупность строк (столбцов) линейно независима, то любая меньшая совокупность строк(столбцов) также линейно независима.

   Обоснуйте методом от противного.

4. Если система $A_1,A_2,\dots ,A_n$ содержит нулевую строку (столбец) $\Theta$, то она линейно зависима.

матрица

Ссылка на оригинал

---

По итогам лекции нужно знать:

1. Понятия:

   • Определитель
   • Алгебраическое дополнение
   • Дополнительный минор
   • Матричный блок

2. Способ вычисления определителей второго и третьего порядков

3. Свойства определителей

4. Связь с системами уравнений

5. Утверждения об алгебраических дополнениях и дополнительных минорах

6. Умножение матричных блоков

7. Свойство определителя произведения матриц

8. Свойства линейно (не-)зависимых строк (столбцов)

матрица