1. Алгебраические системы. Линейные пространства

Алгебраические системы

Бинарная операция

Бинарная операция

Def. Бинарной операцией $\star$ на множестве $G$ называется Функция $\star :G\times G⟶G$

алгебраическиесистемы

Ссылка на оригинал

---

Алгебраическая система

Алгебраическая система

Def. Алгебраической системой называется Множество $G$ с заданным на нём набором операций и отношений.
Операция может обозначаться знаком . + $оипрочее,либопустымсимволом:$a \cdot b, a+b, a \circ b, a b$ и т.д.
Будем пользоваться мультипликативной записью (умножение)

алгебраическиесистемы

Ссылка на оригинал

---

Свойства бинарной операции

Свойства бинарной операции

Свойства бинарной операции:

1. Замкнутость: $\forall a,b\in Gab\in G$

   Выполняется по умолчанию, так как это условие того, что операция на множестве задана. Требуется проверять при рассмотрении конкретного примера.

2. Ассоциативность: $\forall a,b,c\in G(ab)c=a(bc)$
3. Наличие нейтрального элемента: $\exists e\in G:\forall a\in G$ $ae=ea=a$
4. Обратимость: $\forall a\in G\exists a^{-1}\in G:a{a}^{-1}=a^{-1}a=e$.
5. Коммутативность: $\forall a,b\in Gab=ba$

алгебраическиесистемы

Ссылка на оригинал

---

Полугруппы группы кольца поля

Полугруппа

Полугруппа

Def. Алгебраическая система с одной бинарной операцией, на которой выполнены

• свойства 1,2 - называется полугруппой;
• свойства 1,2,5 - коммутативной полугруппой;
• свойства 1,2,3 - полугруппой с единицей.

алгебраическиесистемы

Ссылка на оригинал

---

Группа

Группа

Def. Алгебраическая система с одной бинарной операцией, на которой выполнены свойства:

• 1-4 называется группой
• Все пять свойств - коммутативной (абелевой) группой

алгебраическиесистемы

Ссылка на оригинал

---

Кольцо

Кольцо

Def. Алгебраическая система $K$ с двумя бинарными операциями ” + ” и ” . ” относительно которых $(K,+)$ - абелева группа, $(K,\cdot )$ - полугруппа, а также выполнено свойство дистрибутивности: $\begin{array}{r}a(b+c)=ab+ac\\ (b+c)a=ba+ca\end{array}$для любых $a,b,c\in K$ называется кольцом.

• Если $(K,\cdot )$ - коммутативная полугруппа, то кольцо называется коммутативным
• Если $(K,\cdot )$ - полугруппа с единицей, то $K$ - кольцо с единицей

алгебраическиесистемы

Ссылка на оригинал

---

Поле

Поле

Def. Алгебраическая система $K$ с двумя бинарными операциями ” + ” и ” . ”, относительно каждой из которых $K$ - абелева группа, а также выполнено свойство дистрибутивности: $\begin{array}{r}a(b+c)=ab+ac\\ (b+c)a=ba+ca\end{array}$называется полем.

Примечание

Для единицы по сложению (т.е. нулевого элемента) требование существования обратного отсутствует

алгебраическиесистемы

Ссылка на оригинал

---

Примеры

Примеры разных алгебраических систем

Рассмотрим несколько примеров разных алгебраических систем:
1)

Естественные примеры

	$(+)$	$(\cdot )$	$(+,\cdot )$
$N$	Полугруппа	Полугруппа с 1
$Z$	Группа	Полугруппа с 1	Кольцо
$Q$	Группа	Группа	Поле
$R$	Группа	Группа	Поле
$C$	Группа	Группа	Поле

Примеры конечных алгебраических систем

1. Множество комплексных корней степени $n$ из 1. Абелева группа по умножению
2. ${\mathbf{Z}}_2=\{0,1\}$ (Множество остатков от деления на 2 ). Поле
3. ${\mathbf{Z}}_3=\{0,1,2\}$ (Множество остатков от деления на 3). Поле

Обоснование

Абелева группа

$\cdot$	0	1	2
0	0	0	0
1	0	1	2
2	0	2	1

Абелева группа

+	0	1	2
0	0	1	2
1	1	2	0
2	2	0	1

4. ${\mathbf{Z}}_6=\{0,1,2,3,4,5\}$ (Множество остатков от деления на 6 ). Кольцо

Обоснование

$\cdot$	0	1	2	3	4	5
0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5
2	0	2	4	0	2	4
3	0	3	0	3	0	3
4	0	4	2	0	4	2
5	0	5	4	3	2	1

Абелева группа

+	0	1	2	3	4	5
0	0	1	2	3	4	5
1	1	2	3	4	5	0
2	2	3	4	5	0	1
3	3	4	5	0	1	2
4	4	5	0	1	2	3
5	5	0	1	2	3	4

алгебраическиесистемы

Ссылка на оригинал

---

Линейное пространство

Линейное пространство

Def. Линейным (векторным) пространством $L$ над полем $P$ будем называть Множество элементов, на котором:

• Задана (внутренняя) бинарная операция сложения. Это означает, что выполнено свойство замкнутости:
  Для любых $x,y\in L$ имеет место: $x+y\in L$

  результат сложения любых элементов линейного пространства также является его элементом.

• Задана (внешняя) бинарная операция умножения на элемент поля $P$:
  $\forall x\in L$ и $\lambda \in P$ выполнено: $\lambda x\in L$

• Выполняются следующие восемь аксиом ( $\forall x,y,z\in L,\forall \alpha ,\beta \in P$ ):

  1. Ассоциативность сложения: $(x+y)+z=x+(y+z)$
  2. Коммутативность сложения: $x+y=y+x$
  3. Наличие нейтрального элемента по сложению: $\exists \theta \in L:x+\theta =\theta +x=x$
  4. Обратимость по сложению: $\exists (-x)\in L:x+(-x)=\theta$
  5. Ассоциативность умножения на элементы поля: $\alpha (\beta x)=(\alpha \beta )x$
  6. Дистрибутивность относительно сложения векторов: $\alpha (x+y)=\alpha x+\alpha y$
  7. Дистрибутивность относительно сложения скаляров: $(\alpha +\beta )x=\alpha x+\beta x$
  8. $1\cdot x=x$

Элементы линейного (векторного) пространства называются векторами.

Замечания

1. Если в качестве поля $P$ взято множество $\mathbf{R}$, то линейное пространство называется вещественным. Если $\mathbf{C}$ - то комплексным.
2. Первые четыре аксиомы определяют группу элементов $L$.
3. Можно было не различать нейтральный элемент линейного пространства $\theta$ и “обычный” ноль (элемент числового поля), однако, учитывая произвольную природу элементов линейного пространства, будем их разделять. Поясним на примерах.

Примеры

1. Пусть $M_{m\times n}(\mathbf{R})$ - множество матриц размера $m\times n$ с вещественными элементами.

Проверка свойств линейного пространства

• Ассоциативность и коммутативность сложения очевидны, так как они наследуются из свойств поля $\mathbf{R}$.
• Нейтральный элемент это нулевая матрица соответствующего размера. Очевидно, что она не совпадает с нулём поля.
• Для любой матрицы $M_0$ существует обратная $-M_0:M_0+\left(-M_0\right)=\theta$
• Остальные свойства несложно проверить самостоятельно

2. $\mathbf{R}[x]$ - множество многочленов от одной переменной $x$ с вещественными коэффициентами

Обоснование

Выполнение аксиом линейного пространства в этом случае также несложно проверить.

• Заметим только, что нейтральным элементом (аксиома 3) в этом множестве является многочлен 0 . В данном случае он совпадает с нулём поля.
• Для $f(x)$ обратным элементом будет $-f(x)$.

линейноепространство

Ссылка на оригинал

---

Свойства линейного пространства

Свойства линейного пространства

Для любого линейного пространства:

1. $0x=\theta$

   Действительно, при любом $x\in L$ имеет место: $x=(0+1)x=0x+x$, аналогично: $x=x+0x$. Следовательно, $0x$ - нейтральный элемент $\theta$

2. $\lambda \theta =\theta$ при любом $\lambda$ из поля $P$

   Имеем: $\lambda \theta =\lambda (\theta +\theta )=\lambda \theta +\lambda \theta$, т.е. $\lambda \theta =\theta$

3. В линейном пространстве существует единственный нейтральный элемент:

Доказательство

Пусть $\theta ,{\theta }_1$ - два нейтральных элемента $L$. Тогда
$\theta +{\theta }_1=\theta$ (в силу нейтральности ${\theta }_1$ ),
$\theta +{\theta }_1={\theta }_1$ (в силу нейтральности $\theta$ ), следовательно, элементы равны.

4. Если $\lambda x=\theta$, то либо $\lambda =0$, либо $x=\theta$

   Пусть $\lambda \ne 0$, тогда $\lambda x=\theta ⟹$ (св. 2) $\frac{1}{\lambda }(\lambda x)=\theta ⟹x=\theta$

5. $(-1)\cdot x=-x$ т.е. противоположный элемент получается из исходного умножением на -1

   $(-1+1)x=0\cdot x⟹(-1)\cdot x+1\cdot x=\theta ⟹(-1)\cdot x+x=\theta ⟹(-1)\cdot x=-x$

линейноепространство

Ссылка на оригинал

---

Линейная зависимость и независимость векторов

Линейная зависимость и независимость векторов

Def. Любое выражение вида ${\alpha }_1{a}_1+\dots +{\alpha }_n{a}_n$ называется линейной комбинацией векторов $a_1,\dots ,a_n$.

Def. Множество векторов $a_1,a_2,\dots ,a_n$ линейного пространства $L$ над полем $P$ называется линейно зависимым, если существуют такие коэффициенты ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n\in P$, не все равные 0 , что ${\alpha }_1{a}_1+\dots +{\alpha }_n{a}_n=\theta$.
В противном случае множество векторов называется линейно независимым.

линейноепространство

Ссылка на оригинал

---

Теорема 1. Линейная зависимость векторов

Теорема. Линейная зависимость векторов

Теорема

Если среди векторов $a_1,a_2,\dots ,a_n$ есть хотя бы один нулевой вектор, то данные векторы линейно зависимы.

Доказательство

Для доказательства достаточно взять линейную комбинацию с коэффициентом 1 при нулевом векторе и нулевыми остальными коэффициентами.

линейноепространство

Ссылка на оригинал

---

Теорема 2. Сохранение линейной зависимости векторов

Теорема. Сохранение линейной зависимости векторов

Теорема

Если к линейно зависимым векторам $a_1,a_2,\dots ,a_n$ добавить произвольные векторы $b_1,b_2,\dots ,b_m$, то множество векторов $a_1,a_2,\dots ,a_n,b_1,b_2,\dots ,b_m$ будет линейно зависимым.

Доказательство

По определению: ${\alpha }_1{a}_1+\dots +{\alpha }_n{a}_n=\theta$ при некоторых ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n\in P$ (не всех равных 0 ).
Добавляя к левой части равенства любую линейную комбинацию векторов с нулевыми коэффициентами, вновь получим верное равенство, в частности:
${\alpha }_1{a}_1+\dots +{\alpha }_n{a}_n+0b_1+\dots +0b_m=\theta$,
что является условием линейной зависимости множества векторов $a_1,a_2,\dots ,a_n,b_1,b_2,\dots ,b_m$.

Следствие

Если векторы $a_1,a_2,\dots ,a_n$ линейно независимы, то любое их подмножество также линейно независимо.

линейноепространство

Ссылка на оригинал

---

Теорема 3. Единственность представления через векторы

Теорема. Единственность представления через векторы

Теорема

Если векторы $a_1,a_2,\dots ,a_n$ линейно независимы и $x={\alpha }_1{a}_1+\dots +{\alpha }_n{a}_n$, то это представление единственно.

Доказательство

Предположим противное, то есть возможны два представления:
${\alpha }_1{a}_1+\dots +{\alpha }_n{a}_n=x$
и
${\beta }_1{a}_1+\dots +{\beta }_n{a}_n=x$.
Вычтем из одного представления другое, получим:
$\left({\alpha }_1-{\beta }_1\right)a_1+\dots +\left({\alpha }_n-{\beta }_n\right)a_n=\theta$.
Поскольку векторы $a_1,a_2,\dots ,a_n$ линейно независимы, то коэффициенты данной линейной комбинации равны нулю, т.е. ${\alpha }_1={\beta }_1,\dots ,{\alpha }_n={\beta }_n$, а, значит, представление единственно.

линейноепространство

Ссылка на оригинал

---

Размерность линейного пространства

Размерность линейного пространства

Def. Размерностью линейного пространства называется максимальное число $n$ линейно независимых векторов из этого пространства.
Это означает, что из векторов линейного пространства можно выбрать $n$ линейно независимых, а любые $n+1$ линейно зависимы. Сравните с определением ранга матрицы.
Обозначение: $\dim L=n$.

линейноепространство

Ссылка на оригинал

---

Теорема 4. Ограниченность числа линейно независимых векторов

Теорема. Ограниченность числа линейно независимых векторов

Теорема

Даны линейно независимые векторы $f_1,f_2,\dots ,f_m$, через которые выражаются векторы $g_1,\dots g_k$ : $\begin{array}{rl}& g_1=a_{11}{f}_1+\dots a_{1m}{f}_m,\\ & g_2=a_{21}{f}_1+\dots a_{2m}{f}_m,\\ & \dots \\ & g_k=a_{k1}{f}_1+\dots a_{km}{f}_m\end{array}$Если векторы $g_i$ линейно независимы, то $k\le m$.
Суть утверждения: из $m$ линейно независимых векторов никакими линейными комбинациями не получить большее число линейно независимых векторов.

* Доказательство

Рассмотрим линейную комбинацию векторов ${\lambda }_1{g}_1+\dots +{\lambda }_k{g}_k$. Поскольку векторы линейно независимы, она равна нулю только в тривиальном случае ( ${\lambda }_1=\dots ={\lambda }_k=0$ ).

Подставим в равенство ${\lambda }_1{g}_1+\dots +{\lambda }_k{g}_k=\theta$ выражения для векторов $g_i$ из условий теоремы:
${\lambda }_1\left(a_{11}{f}_1+\dots a_{1m}{f}_m\right)+\dots +{\lambda }_k\left(a_{k1}{f}_1+\dots a_{km}{f}_m\right)=\theta$,
или
$\left({\sum }_{i=1}^k{\lambda }_i{\alpha }_{i1}\right)f_1+\left({\sum }_{i=1}^k{\lambda }_i{\alpha }_{i2}\right)f_2\dots +\left({\sum }_{i=1}^k{\lambda }_i{\alpha }_{im}\right)f_m=\theta$
Так как векторы $f_1,f_2,\dots ,f_m$ линейно независимы, то все коэффициенты при них равны нулю, то есть: $\{\begin{array}{l}{\sum }_{i=1}^k{\lambda }_i{\alpha }_{i1}=0\\ {\sum }_{i=1}^k{\lambda }_i{\alpha }_{i2}=0\\ \cdots \\ {\sum }_{i=1}^k{\lambda }_i{\alpha }_{im}=0\end{array}$Эта система уравнений имеет относительно ${\lambda }_1$ единственное решение ${\lambda }_1=\dots {\lambda }_k=0$ (вследствие линейной независимости $g_1,\dots ,g_k$, см. выше)

Это возможно только при условии равенства ранга матрицы коэффициентов и числа неизвестных, т.е. $k$. Тогда число уравнений не меньше $k$ и $k\le m$.

Следствие

Если в пространстве $L$ существует $n$ линейно независимых векторов $e_1,e_2,\dots ,e_n$, причём каждый вектор из $L$ есть их линейная комбинация, то пространство $n$-мерно.

линейноепространство

Ссылка на оригинал

---

Система образующих

Система образующих

Def. Множество элементов $u_1,u_2,\dots ,u_m\in L$ называется системой образующих линейного пространства $L$, если $\forall x\in L\exists {\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_m\in P:x={\alpha }_1{u}_1+\dots +{\alpha }_m{u}_m$, т.е. любой вектор данного пространства может быть выражен через систему образующих.

линейноепространство

Ссылка на оригинал

---

Базис линейного пространства

Базис линейного пространства

Def. Упорядоченная Система образующих $u_1,\dots ,u_m$ называется базисом линейного пространства $L$, если она линейно независима.

линейноепространство

Ссылка на оригинал

---

Теорема 5. Образование базиса

Теорема. Образование базиса

Теорема

Если Размерность линейного пространства $L$ равна $n$, то любые $n$ линейно независимых векторов образуют базис $L$.

Доказательство

Пусть векторы $e_1,e_2,\dots ,e_n$ линейно независимы. Достаточно показать, что через них можно выразить любой вектор из $L$.

Возьмём произвольный вектор $x\in L\backslash \theta$ и приравняем к нулю линейную комбинацию векторов $e_1,e_2,\dots ,e_n,x$ ${\lambda }_1{e}_1+{\lambda }_2{e}_2+\dots +{\lambda }_n{e}_n+\lambda x=\theta$Существует два варианта:

• Если $\lambda =0$, то все остальные коэффициенты также должны быть равны нулю, ведь по условию векторы $e_1,e_2,\dots ,e_n$ линейно независимы. Это противоречит условию размерности пространства (она повысилась на 1 благодаря вектору $x$ ).

• Если $\lambda \ne 0$, то $\lambda x=-{\lambda }_1{e}_1-{\lambda }_2{e}_2-\dots -{\lambda }_n{e}_n$или $x=-\frac{{\lambda }_1}{\lambda }{e}_1-\frac{{\lambda }_2}{\lambda }{e}_2-\dots -\frac{{\lambda }_1}{\lambda }{e}_n,$

что и требовалось показать.

Следствие

В одном линейном пространстве базис можно выбрать более чем одним способом.
Действительно, при размерности $n>1$ векторы можно менять местами, получая другой базис. В вещественном или комплексном линейном пространстве, умножая базисные векторы на ненулевые множители, можно получать бесконечное Множество новых базисов (проверьте)

Примеры

• В качестве базиса множества $V^2$ свободных векторов плоскости (почему оно является линейным пространством?) можно взять любые два неколлинеарных вектора этой плоскости.

• В качестве базиса множества $V^3$ свободных векторов пространства можно взять любые три некомпланарных вектора. Например, $\bar{i},\bar{j},\bar{k}$.

линейноепространство

Ссылка на оригинал

---

Теорема 6. Представление векторов базиса

Теорема. Представление векторов базиса

Теорема

Пусть $L$ - линейное пространство размерности $n$. Каждый вектор из $L$ единственным образом представляется в виде линейной комбинации векторов базиса.

Следует из теоремы о единственности представления через векторы

Замечание

Если известен базис пространства, то его размерность можно определить как количество векторов в базисе.

линейноепространство

Ссылка на оригинал

---

Теорема 7. Дополнение до базиса

Теорема. Дополнение до базиса

Теорема

В $n$-мерном пространстве любую систему линейно независимых векторов можно дополнить до базиса.

Доказательство

Пусть $g_1,g_2,\dots ,g_k$ - линейно независимые векторы и $k<n$. Рассмотрим какой-нибудь базис этого пространства, например $e_1,e_2,\dots ,e_n$.

Если бы каждый вектор $e_i(i=1,\dots ,n)$ был линейной комбинацией векторов $g_1,g_2,\dots ,g_k$, то по теореме об ограниченности числа лнз векторов было бы верно $n\le k$.
Но по условию $k<n$, следовательно, среди векторов $e_1,e_2,\dots ,e_n$ есть хотя бы один, который не является линейной комбинацией $g_1,g_2,\dots ,g_k$, например, $e_s$. Добавим его ко множеству векторов $g_i(i=1,\dots ,k)$. Теперь векторов будет $k+1$, которые также линейно независимы (иначе $e_s$ выражался бы через оставшиеся векторы - проверьте). Если $k+1<n$, то повторим этот процесс, пока не получим количество векторов, равное $n$, то есть новый базис.

линейноепространство

Ссылка на оригинал

---

Координаты в базисе

Итак, любой вектор пространства можно разложить по базису, причём единственным образом. Это позволяет нам ввести ещё одно важное понятие.

Столбец координат вектора

Def. Пусть $x\in L,\left\{e_1,\dots ,e_n\right\}$ - базис $L,x={\alpha }_1{e}_1+\dots +{\alpha }_n{e}_n$
Тогда столбец ${\left({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n\right)}^T$ называется столбцом координат вектора $x$ в базисе $\left\{e_1,\dots ,e_n\right\}$

Примеры

• Если $x={\alpha }_1{e}_1+\dots +{\alpha }_n{e}_n$ и $y={\beta }_1{e}_1+\dots +{\beta }_n{e}_n$, то вектор суммы $x+y=\left({\alpha }_1+{\beta }_1\right)e_1+\dots +$ $\left({\alpha }_n+{\beta }_n\right)e_n$
  т.е. $x+y={\left({\alpha }_1+{\beta }_1,\dots ,{\alpha }_n+{\beta }_n\right)}^T$
  Аналогично: $\lambda x=\lambda {\alpha }_1{e}_1+\dots +\lambda {\alpha }_n{e}_n={\left(\lambda {\alpha }_1,\dots ,\lambda {\alpha }_n\right)}^T$

• ${\mathbf{R}}^n=\mathbf{R}\times \dots \times \mathbf{R}=\left\{{\left(r_1,r_2,\dots ,r_n\right)}^T\mid r_i\in \mathbf{R},i=1,\dots ,n\right\}$ - множество $n$-ок вещественных чисел.
  В частности ${\mathbf{R}}^4=\mathbf{R}\times \mathbf{R}\times \mathbf{R}\times \mathbf{R}=\left\{{\left(r_1,r_2,r_3,r_4\right)}^T\mid r_i\in \mathbf{R},i=1,\dots ,4\right\}$
  Подберём самый простой, “естественный” базис пространства ${\mathbf{R}}^n$.
  Первый элемент $n$-ки можно получить, умножая на нужный коэффициент элемент $(1,0,\dots ,0{)}^T$, аналогично - второй элемент $n$-ки можно получить при помощи $(0,1,0,\dots ,0{)}^T$ и так далее.

Это означает, что множество векторов $(1,0,\dots ,0{)}^T,(0,1,0,\dots ,0{)}^T,\dots ,(0,0,0,\dots ,1{)}^T$ является системой образующих пространства ${\mathbf{R}}^n$, так как через них можно выразить любой другой вектор пространства. Очевидно, что они линейно независимы. Следовательно, это базис.

Координаты любого вектора ${\mathbf{R}}^n$ в рассмотренном базисе совпадают с его “исходной” записью, так как коэффициенты при базисных векторах соответствуют значениям элемента $n$-ки с тем же номером.

линейноепространство

Ссылка на оригинал

---

По итогам лекции нужно знать:

1. Понятия:

   • Полугруппа, Группа, Кольцо, Поле
   • Линейное пространство (вещественное, комплексное)
   • Линейная зависимость векторов
   • Линейная комбинация векторов
   • Размерность линейного пространства
   • Система образующих и базис
   • Столбец координат вектора

2. Примеры линейных пространств

3. Чем базис отличается от системы образующих

4. Свойства линейного пространства

5. Как проверять, является ли выбранное множество линейным пространством

6. Как определять факт линейной зависимости/независимости векторов линейного пространства

7. Как определять размерность пространства

8. Как определять, является ли множество векторов базисом или системой образующих

9. Как находить координаты вектора в базисе

10. Формулировки и доказательства основных фактов

линейноепространство алгебраическиесистемы