Теорема. Матрица оператора в базисе из векторов инвариантных подпространств

Теорема

Пусть $L_0$ — инвариантное относительно оператора $A$ подпространство пространства $L$ и $\dim L_0=m$¹.
Тогда существует базис $e_1,e_2,\dots ,e_n$ линейного пространства $L$, в котором матрица оператора $A$ имеет вид:

$$\left(\begin{array}{cc}\mathrm{B}& \mathrm{C}\\ 0& \mathrm{D}\end{array}\right)$$

где $B$ — матрица сужения оператора $A$ на подпространство $L_0$, $0$ — нулевая матрица размера $(n-m)\times m$, $C$ и $D$ — матрицы размеров $m\times (n-m)$ и $(n-m)\times (n-m)$ соответственно.

И наоборот: если в некотором базисе $e_1,\dots ,e_n$ матрица оператора $A$ имеет нулевой угол (нулевую матрицу размера $(n-m)\times m$), то оператор $A$ имеет $m$-мерное Инвариантное подпространство.

Доказательство

Дополним базис $e_1,\dots ,e_m$ подпространства $L_0$ до базиса $L$ векторами $e_{m+1},\dots ,e_n$.
Тогда для любого $i=1,\dots ,m$

$$A(e_i)={\alpha }_1{e}_1+{\alpha }_2{e}_2+\dots +{\alpha }_m{e}_m+0\cdot e_{m+1}+\dots +0\cdot e_n$$

Следовательно, первые $m$ столбцов матрицы оператора $A$ в этом базисе будут иметь последние $n-m$ элементов равными нулю.

Обратное утверждение доказывается теми же рассуждениями в обратном порядке.

Следствие

Если $n$-мерное пространство $L$ распадается в прямую сумму ненулевых инвариантных подпространств

$$L=L_1\oplus L_2\oplus \cdots \oplus L_k,$$

то существует базис, в котором матрица оператора $A$ имеет блочно-диагональный вид:

$$\left(\begin{array}{cccc}{A}_1& 0& \dots & 0\\ 0& A_2& \dots & 0\\ ⋮& & & ⋮\\ 0& 0& \dots & A_k\end{array}\right)$$

где $A_i$ — матрица сужения $A$ на $L_i$, $i=1,\dots ,k$.

Пример

Рассмотрим оператор поворота $A$ вокруг оси $Ox$. Пусть

$$L_1=Ox,L_2=Oyz,V^3=L_1\oplus L_2.$$

В базис $\{i,j,k\}$ матрица оператора имеет вид:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \varphi & -\sin \varphi \\ 0& \sin \varphi & \cos \varphi \end{array}\right)$$

Замечание

Эта матрица ортогональна.

линейныйоператор

Footnotes

1. $\dim L_0=m$ - Размерность линейного пространства ↩