Столбец координат вектора

Def. Пусть $x\in L,\left\{e_1,\dots ,e_n\right\}$ - базис $L,x={\alpha }_1{e}_1+\dots +{\alpha }_n{e}_n$
Тогда столбец ${\left({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n\right)}^T$ называется столбцом координат вектора $x$ в базисе $\left\{e_1,\dots ,e_n\right\}$

Примеры

• Если $x={\alpha }_1{e}_1+\dots +{\alpha }_n{e}_n$ и $y={\beta }_1{e}_1+\dots +{\beta }_n{e}_n$, то вектор суммы $x+y=\left({\alpha }_1+{\beta }_1\right)e_1+\dots +$ $\left({\alpha }_n+{\beta }_n\right)e_n$
  т.е. $x+y={\left({\alpha }_1+{\beta }_1,\dots ,{\alpha }_n+{\beta }_n\right)}^T$
  Аналогично: $\lambda x=\lambda {\alpha }_1{e}_1+\dots +\lambda {\alpha }_n{e}_n={\left(\lambda {\alpha }_1,\dots ,\lambda {\alpha }_n\right)}^T$

• ${\mathbf{R}}^n=\mathbf{R}\times \dots \times \mathbf{R}=\left\{{\left(r_1,r_2,\dots ,r_n\right)}^T\mid r_i\in \mathbf{R},i=1,\dots ,n\right\}$ - множество $n$-ок вещественных чисел.
  В частности ${\mathbf{R}}^4=\mathbf{R}\times \mathbf{R}\times \mathbf{R}\times \mathbf{R}=\left\{{\left(r_1,r_2,r_3,r_4\right)}^T\mid r_i\in \mathbf{R},i=1,\dots ,4\right\}$
  Подберём самый простой, “естественный” базис пространства ${\mathbf{R}}^n$.
  Первый элемент $n$-ки можно получить, умножая на нужный коэффициент элемент $(1,0,\dots ,0{)}^T$, аналогично - второй элемент $n$-ки можно получить при помощи $(0,1,0,\dots ,0{)}^T$ и так далее.

Это означает, что множество векторов $(1,0,\dots ,0{)}^T,(0,1,0,\dots ,0{)}^T,\dots ,(0,0,0,\dots ,1{)}^T$ является системой образующих пространства ${\mathbf{R}}^n$, так как через них можно выразить любой другой вектор пространства. Очевидно, что они линейно независимы. Следовательно, это базис.

Координаты любого вектора ${\mathbf{R}}^n$ в рассмотренном базисе совпадают с его “исходной” записью, так как коэффициенты при базисных векторах соответствуют значениям элемента $n$-ки с тем же номером.

линейноепространство