1. Линейные операторы

Линейные операторы и их свойства

Линейный оператор

Линейный оператор

• Def. Линейным оператором линейного пространства $V$ называется функция $A:V\to V$, удовлетворяющая двум свойствам линейности:

  1. $\forall x,y\in VA(x+y)=A(x)+A(y)$
  2. $\forall \alpha \in \mathbb{R},\forall x\in VA(\alpha x)=\alpha A(x)$

• Def. Если $A(x)=y$, то $y$ называют образом вектора $x$ при операторе $A$, а $x$ — прообразом (возможно, не единственным) вектора $y$ при $A$.

Лемма

Для любого линейного оператора $A$ пространства $L$ выполняется равенство $A(\theta )=\theta$.

Доказательство
Возьмём произвольный $x\in L$. Поскольку $\theta =0\cdot x$, имеем

$$A(\theta )=A(0\cdot x)=0\cdot A(x)=\theta$$

Различные виды операторов

1. Тождественный оператор $I$: $\forall x\in VI(x)=x$.
   Свойства линейности выполняются непосредственно.
   Матрица $I$ в любом базисе — единичная.
2. Нулевой оператор $\Theta$: $\forall x\in V\Theta (x)=\theta$.
   Матрица $\Theta$ — нулевая.
3. Ортогональное проектирование на подпространство $U\le V$.
   Пусть $A(x)=x_0$ — ортогональная проекция $x$ на $U$. Для $x,y\in V$ с проекциями $x_0,y_0\in U$
   имеем $x+y-(x_0+y_0)=h_x+h_y$, где $h_x,h_y\perp U$. Значит $x_0+y_0$ — проекция суммы,
   то есть $A(x+y)=A(x)+A(y)$. Второе свойство проверяется аналогично.
4. Оператор дифференцирования $D(f)=f^{\prime }$ в пространстве многочленов $P^n[x]$.
   Дифференцирование удовлетворяет обоим свойствам линейности.
5. Сдвиг $B(x)=x+x_0$ с фиксированным $x_0\in L$. $$B(x+y)=x+y+x_0,B(x)+B(y)=x+y+2x_0\ne B(x+y),$$ поэтому $B$ не является линейным оператором.

линейныйоператор

Ссылка на оригинал

---

Теорема 1. Оператор задаваемый значениями на базисе

Теорема. Оператор задаваемый значениями на базисе

Теорема

Пусть $\{e_1,e_2,\dots ,e_n\}$ — Базис линейного пространства $L$ над полем $F$,
а $\{g_1,g_2,\dots ,g_n\}\subseteq L$ — произвольные векторы.
Тогда существует единственный линейный оператор $A:L\to L$, такой что

$$A(e_i)=g_i,i=1,\dots ,n.$$

Доказательство

1. Корректность определения.
Каждый вектор $x\in L$ однозначно раскладывается по базису

$$x={\alpha }_1{e}_1+{\alpha }_2{e}_2+\cdots +{\alpha }_n{e}_n,{\alpha }_i\in F.$$

Если бы существовало другое разложение с коэффициентами ${\alpha }_i^{\prime }$, их разность дала бы
$0={\sum }_{i=1}^n({\alpha }_i-{\alpha }_i^{\prime })e_i$,
что противоречило бы линейной независимости $\{e_i\}$.
Заменим $e_i\mapsto g_i$ и положим

$$A(x)={\alpha }_1{g}_1+{\alpha }_2{g}_2+\cdots +{\alpha }_n{g}_n.$$

Единственность координат $({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$ обеспечивает однозначность $A(x)$.

2. Линейность.
Пусть $y={\beta }_1{e}_1+\cdots +{\beta }_n{e}_n$ и $\lambda \in F$.
Аддитивность. Сначала складываем векторы:

$$x+y=({\alpha }_1+{\beta }_1)e_1+\cdots +({\alpha }_n+{\beta }_n)e_n,$$

затем применяем $A$:

$$A(x+y)=({\alpha }_1+{\beta }_1)g_1+\cdots +({\alpha }_n+{\beta }_n)g_n=A(x)+A(y).$$

Однородность. Используем свойство $A(\lambda e_i)=\lambda A(e_i)=\lambda g_i$:

$$A(\lambda x)=A(\lambda {\alpha }_1{e}_1+\cdots +\lambda {\alpha }_n{e}_n)=\lambda {\alpha }_1{g}_1+\cdots +\lambda {\alpha }_n{g}_n=\lambda A(x).$$

Таким образом $A$ удовлетворяет обеим аксиомам линейного оператора.

3. Единственность.
Если другой линейный оператор $B$ также удовлетворяет $B(e_i)=g_i$, то для любого $x$

$$B(x)={\alpha }_1{g}_1+\cdots +{\alpha }_n{g}_n=A(x),$$

следовательно $B=A$

Пример

Пусть $L={\mathbb{R}}^3$, стандартный базис
$e_1=(1,0,0),e_2=(0,1,0),e_3=(0,0,1)$.
Зададим образы

$$g_1=(1,1,0),g_2=(0,1,1),g_3=(1,0,1).$$

Эти $g_i$ линейно независимы, поэтому оператор окажется обратимым.
Матрица $A$ в том же базисе берёт столбцами векторы $g_i$:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right).$$

Для произвольного $x=(x_1,x_2,x_3{)}^{\mathsf{T}}$ имеем

$$A(x)=(x_1+x_3,x_1+x_2,x_2+x_3{)}^{\mathsf{T}},$$

что легко проверяется прямым умножением.

линейныйоператор

Ссылка на оригинал

---

Теорема 2. Размерность образов подпространства

Теорема. Размерность образов подпространства

Теорема

Пусть $A:L\to L$ — Линейный оператор, а $L_0\le L$ — Подпространство.
Тогда

$$A(L_0)\le L,\dim A(L_0)\le \dim L_0.$$

Здесь $A(L_0)=\{A(x)\mid x\in L_0\}$ — множество всех образов элементов $L_0$.

Доказательство

1. Тривиальный случай.
При $L_0=\{\theta \}$ образ тоже $\{\theta \}$, неравенство очевидно.

2. Базис и координаты.
Пусть $\dim L_0=m>0$ и $e_1,\dots ,e_m$ — базис $L_0$.
Любой $x\in L_0$ имеет единственное разложение

$$x={\alpha }_1{e}_1+{\alpha }_2{e}_2+\cdots +{\alpha }_m{e}_m,{\alpha }_i\in F.$$

3. Образ подпространства.
Линейность даёт

$$A(x)={\alpha }_{1}A(e_1)+{\alpha }_{2}A(e_2)+\cdots +{\alpha }_{m}A(e_m).$$

Следовательно каждый вектор из $A(L_0)$ выражается через $A(e_1),\dots ,A(e_m)$,
и наоборот для любой такой линейной комбинации найдётся прообраз в $L_0$.
То есть $A(L_0)$ — линейная оболочка векторов $A(e_1),\dots ,A(e_m)$.

4. Оценка размерности.
Линейная оболочка, заданная $m$ векторами, не может иметь размерность больше $m$ (если среди $A(e_i)$ есть линейные зависимости, размерность ещё меньше);
поэтому

$$\dim A(L_0)\le m=\dim L_0.$$

линейныйоператор

Ссылка на оригинал

---

Матрица линейного оператора

Матрица линейного оператора

Def. Матрицей линейного оператора $A$ в базисе $e_1,e_2,\dots ,e_n$ линейного пространства $L$ называется Матрица $A_e$ для которой $A(x{)}_e=A_e{x}_e$при любом векторе $x\in L$.

• $x_e$ — столбец координат вектора $x$ в выбранном базисе;
• $A(x{)}_e$ — столбец координат образа $A(x)$ в том же базисе.

линейноепространство

Ссылка на оригинал

---

Теорема 3. Матрица линейного оператора в произвольном базисе

Теорема. Матрица линейного оператора в произвольном базисе

Теорема

Для любого линейного оператора $A:L\to L$ и любого базиса
$e_1,e_2,\dots ,e_n$ пространства $L$ существует единственная матрица $A_e$,
описывающая действие $A$ в этом базисе.

Доказательство

Шаг 1. Разложения образов базиса
Для каждого $e_i$ найдём координаты его образа:

$$A(e_i)={\xi }_{1i}{e}_1+{\xi }_{2i}{e}_2+\cdots +{\xi }_{ni}{e}_n,i=1,\dots ,n$$

Шаг 2. Формирование матрицы
Расположим координаты $A(e_1)$ в первом столбце, $A(e_2)$ — во втором, и т.д.:

$$A_e=\left(\begin{array}{cccc}{\xi }_{11}& {\xi }_{12}& \dots & {\xi }_{1n}\\ {\xi }_{21}& {\xi }_{22}& \dots & {\xi }_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ {\xi }_{n1}& {\xi }_{n2}& \dots & {\xi }_{nn}\end{array}\right)$$

Шаг 3. Проверка на произвольном векторе
Пусть

$$x={\alpha }_1{e}_1+{\alpha }_2{e}_2+\cdots +{\alpha }_n{e}_n,x_e^{\mathsf{T}}=\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ {\alpha }_2\\ ⋮\\ {\alpha }_n\end{array}\right)$$

Умножим $A_e$ на столбец координат $x$:

$$A_e{x}_e^{\mathsf{T}}=\left(\begin{array}{c}{\xi }_{11}{\alpha }_1+{\xi }_{12}{\alpha }_2+\cdots +{\xi }_{1n}{\alpha }_n\\ {\xi }_{21}{\alpha }_1+{\xi }_{22}{\alpha }_2+\cdots +{\xi }_{2n}{\alpha }_n\\ ⋮\\ {\xi }_{n1}{\alpha }_1+{\xi }_{n2}{\alpha }_2+\cdots +{\xi }_{nn}{\alpha }_n\end{array}\right)$$

С другой стороны, линейность даёт

$$A(x)={\alpha }_{1}A(e_1)+\cdots +{\alpha }_{n}A(e_n)=({\xi }_{11}{\alpha }_1+\cdots +{\xi }_{1n}{\alpha }_n)e_1+\cdots +({\xi }_{n1}{\alpha }_1+\cdots +{\xi }_{nn}{\alpha }_n)e_n$$

Координатный столбец $A(x)$ совпадает с $A_e{x}_e^{\mathsf{T}}$, следовательно построенная матрица корректно описывает оператор.
Шаг 4. Единственность
Любая матрица, дающая правильные координаты для всех $e_i$, обязана содержать те же столбцы $({\xi }_{1i},\dots ,{\xi }_{ni}{)}^{\mathsf{T}}$, поэтому совпадает с $A_e$.

линейныйоператор

Ссылка на оригинал

---

Теорема 4. Взаимно-однозначное соответствие «оператор-матрица» в фиксированном базисе

Теорема. Взаимно-однозначное соответствие «оператор-матрица» в фиксированном базисе

Теорема

Пусть $g_1,g_2,\dots ,g_n$ — фиксированный базис пространства $L(\dim L=n)$.

1. Различным линейным операторам $A,B:L\to L$ соответствуют различные матрицы $A_g,B_g$ в этом базисе.
2. Каждая квадратная матрица $D_g$ порядка $n$ является матрицей некоторого линейного оператора $D:L\to L$ в том же базисе.

Доказательство

1. Однозначность оператора по его матрице.
Если $A_g=B_g$, то для любого вектора $x\in L$
$A(x)=A_g{x}_g=B_g{x}_g=B(x),$
значит $A=B$.

2. Любая матрица задаёт оператор.
Пусть дана матрица $D_g$. Определим отображение
$D:L⟶L,D(x)=D_g{x}_g.$
Тогда для всех $x,y\in L$ и $\lambda \in F$ выполняются свойства линейности:
$D(x+y)=D_g(x_g+y_g)=D_g{x}_g+D_g{y}_g=D(x)+D(y),$
$D(\lambda x)=D_g(\lambda x_g)=\lambda D_g{x}_g=\lambda D(x).$
Поэтому $D$ — линейный оператор с матрицей $D_g$.

2.1 Проверка на базисных векторах.
Для каждого $g_i$ имеем $D(g_i)=D_g{e}_i$, где $e_i$ — $i$-й стандартный столбец.
Его координаты в базисе $g$ совпадают с $i$-м столбцом $D_g$, как и требовалось.

Пример

В ${\mathbb{R}}^2$ с базисом $g_1=(1,0)$, $g_2=(0,1)$ возьмём матрицу

$$D_g=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right).$$

Тогда оператор $D$ действует как поворот плоскости на $90^{\circ }$ против часовой стрелки:

$$D(x_1,x_2)=(-x_2,x_1).$$

линейныйоператор

Ссылка на оригинал

---

Примеры линейных операторов и их матриц

Примеры линейных операторов и их матриц

1. Нулевой оператор

Определён правилом $\Theta (x)=\theta$ для любого $x\in L$.
Так как $\Theta (g_i)=\theta$ для каждого базисного $g_i$, все координаты равны $0$,

$$\left(\begin{array}{cccc}0& 0& \dots & 0\\ 0& 0& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & 0\end{array}\right)$$

2. Тождественный оператор

Задан формулой $\mathrm{Id}(x)=x$.
Для базиса $g_1,\dots ,g_n$ имеем
$\mathrm{Id}(g_1)=g_1,\mathrm{Id}(g_2)=g_2,\dots ,\mathrm{Id}(g_n)=g_n,$
следовательно все коэффициенты стоят на главной диагонали:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \dots & 0\\ 0& 1& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & 1\end{array}\right)$$

3. Оператор дифференцирования

Пространство многочленов $P^n[x]$, естественный базис

$$e_1=x^n,e_2=x^{n-1},\dots ,e_n=x,e_{n+1}=1.$$

Действие оператора $D(f)=f^{\prime }$ на базисе:

$$\begin{array}{rl}& D(e_1)=n{x}^{n-1}=n{e}_2,\\ & D(e_2)=(n-1)x^{n-2}=(n-1)e_3,\\ & ⋮\\ & D(e_n)=1\cdot e_{n+1},\\ & D(e_{n+1})=0.\end{array}$$

Значит матрица $D_e$ имеет ненулевые элементы только на первой подпобочной диагонали:

$$D_e=\left(\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& \dots & 0& 0\\ n& 0& 0& \dots & 0& 0\\ 0& n-1& 0& \dots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \dots & 2& 0& 0\\ 0& 0& \dots & 0& 1& 0\end{array}\right)$$

линейныйоператор

Ссылка на оригинал

---

Теорема 5. Матрица линейного оператора в разных базисах

Теорема. Матрица линейного оператора в разных базисах

Теорема

Пусть $g_1,\dots ,g_n$ и $f_1,\dots ,f_n$ — два базиса пространства $L$,
а $A_g$ — матрица линейного оператора $A:L\to L$ в базисе $g$.
Тогда матрица того же оператора в базисе $f$ выражается формулой

$$A_f=C_{f\to g}{A}_g{C}_{g\to f},$$

где $C_{g\to f}$¹ переводит координаты из $f$ в $g$,
а $C_{f\to g}=C_{g\to f}^{-1}$ — обратно из $g$ в $f$.

Доказательство

Для любого $x\in L$ выполняется:

$$x_g=C_{g\to f}{x}_f,y_g=A_g{x}_g,y_f=C_{f\to g}{y}_g,$$

где $y=A(x)$ ¹ . Подставив $x_g$ и $y_g$, получаем

$$y_f=C_{f\to g}{A}_g{C}_{g\to f}{x}_f.$$

По определению $A_f$ имеем также $y_f=A_f{x}_f$, отсюда

$$A_f=C_{f\to g}{A}_g{C}_{g\to f}.$$

линейныйоператор

Footnotes

1. Образ линейного оператора ↩ ↩²

Ссылка на оригинал

---

По итогам лекции нужно знать:

1. Понятия:

   • Линейный оператор
   • Образ вектора, прообраз вектора
   • Матрица линейного оператора

2. Способ нахождения матрицы оператора

3. Матрица оператора в разных базисах

4. Основные теоретические факты с доказательствами

линейныйоператор