Условные законы распределения

Условное распределение

Условное распределение

Условное распределение

$(\xi ,\eta )$ – случайный вектор.
Условным распределением составляющей $\xi \mid \eta$ называется распределение, задаваемое условной функцией распределения:

$${\mathcal{F}}_{\xi \mid \eta }(x\mid y)=P\{\xi <x\mid \eta =y\}=\underset{\Delta y\to 0}{\lim }P\{\xi <x\mid \eta \in [y,y+\Delta y]\}$$

Показывает, какому закону распределения подчиняется одна случайная величина , если другая уже приняла определенное значение

Ссылка на оригинал

---

Дискретное условное распределение

Дискретное условное распределение

Условное распределение дискретного случайного вектора

$(\xi ,\eta )$ – дискретный случайный вектор
Условный закон распределения $\xi$ при условии $\eta =y_j$ имеет вид:

$$\xi \mid \eta =y_j\sim \begin{array}{ccccc}{x}_i& x_1& x_2& \dots & x_m\\ t_i& t_1& t_2& \dots & t_m\end{array}$$

Где условная вероятность $t_i$ вычисляется как отношение совместной вероятности к маргинальной вероятности условия:

$$t_i=P\{\xi =x_i\mid \eta =y_j\}=\frac{P\{\xi =x_i,\eta =y_j\}}{P\{\eta =y_j\}}=\frac{p_{ij}}{{\sum }_{k=1}^m{p}_{kj}}$$

Условное дискретное математическое ожидание

Математическое ожидание вычисляется как сумма произведений возможных значений на их условные вероятности:

$$E(\xi \mid \eta =y_j)=\sum _{i=1}^m{x}_i\cdot P\{\xi =x_i\mid \eta =y_j\}$$

Замечание

Результатом вычисления условного математического ожидания является не число, а неслучайная функция от значения $y_j$. Эту функцию называют функцией регрессии $\xi$ на $\eta$.

Ссылка на оригинал

Пример поиска дискретного условного распределения

Пример поиска дискретного условного распределения

Вычисление условных математических ожиданий

Дано:
Таблица совместного распределения двумерного дискретного случайного вектора $(\xi ,\eta )$:

$$\begin{array}{cccc}\xi \setminus \eta & -2& 0& 1\\ -1& 0,1& 0,2& 0,1\\ 1& 0,3& 0,1& 0,2\end{array}$$

Найти условные математические ожидания $E(\xi \mid \eta )$ и $E(\eta \mid \xi )$.

1Вычисление $E(\xi \mid \eta )$

Вычисляем значения условного математического ожидания для каждого возможного значения условия $\eta$:

$$\begin{array}{rl}& E(\xi \mid \eta =-2)=\sum x_{i}P\{\xi =x_i\mid \eta =-2\}=\\ & =-1\cdot P\{\xi =-1\mid \eta =-2\}+1\cdot P\{\xi =1\mid \eta =-2\}=\\ & =-1\cdot \frac{0,1}{0,1+0,3}+1\cdot \frac{0,3}{0,1+0,3}=\frac{1}{2}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}& E(\xi \mid \eta =0)=\sum x_{i}P\{\xi =x_i\mid \eta =0\}=\\ & =-1\cdot P\{\xi =-1\mid \eta =0\}+1\cdot P\{\xi =1\mid \eta =0\}=\\ & =-1\cdot \frac{0,2}{0,2+0,1}+1\cdot \frac{0,1}{0,2+0,1}=-\frac{1}{3}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}& E(\xi \mid \eta =1)=\sum x_{i}P\{\xi =x_i\mid \eta =1\}=\\ & =-1\cdot P\{\xi =-1\mid \eta =1\}+1\cdot P\{\xi =1\mid \eta =1\}=\\ & =-1\cdot \frac{0,1}{0,1+0,2}+1\cdot \frac{0,2}{0,1+0,2}=\frac{1}{3}\end{array}$$

Итоговый вид функции регрессии $\xi$ на $\eta$:

$$E(\xi \mid \eta )=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2},& \eta =-2\\ -\frac{1}{3},& \eta =0\\ \frac{1}{3},& \eta =1\end{array}$$

ИЛИ через индикаторы:

$$E(\xi \mid \eta )=\frac{1}{2}{\mathbb{I}}_{\{\eta =-2\}}-\frac{1}{3}{\mathbb{I}}_{\{\eta =0\}}+\frac{1}{3}{\mathbb{I}}_{\{\eta =1\}}$$

Вычисление $E(\eta \mid \xi )$

Вычисляем значения для каждого возможного значения условия $\xi$:

$$\begin{array}{rl}& E(\eta \mid \xi =-1)=\sum y_{j}P\{\eta =y_j\mid \xi =-1\}=\\ & =-2\cdot P\{\eta =-2\mid \xi =-1\}+0\cdot P\{\eta =0\mid \xi =-1\}+1\cdot P\{\eta =1\mid \xi =-1\}=\\ & =-2\cdot \frac{0,1}{0,1+0,2+0,1}+0\cdot \frac{0,2}{0,1+0,2+0,1}+1\cdot \frac{0,1}{0,1+0,2+0,1}=\\ & =-\frac{2}{4}+0+\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}& E(\eta \mid \xi =1)=\sum y_{j}P\{\eta =y_j\mid \xi =1\}=\\ & =-2\cdot P\{\eta =-2\mid \xi =1\}+0\cdot P\{\eta =0\mid \xi =1\}+1\cdot P\{\eta =1\mid \xi =1\}=\\ & =-2\cdot \frac{0,3}{0,3+0,1+0,2}+0\cdot \frac{0,1}{0,3+0,1+0,2}+1\cdot \frac{0,2}{0,3+0,1+0,2}=\\ & =-\frac{6}{6}+0+\frac{2}{6}=-\frac{2}{3}\end{array}$$

Итоговый вид функции регрессии $\eta$ на $\xi$:

$$E(\eta \mid \xi )=\{\begin{array}{ll}-\frac{1}{4},& \xi =-1\\ -\frac{2}{3},& \xi =1\end{array}$$

ИЛИ через индикаторы:

$$E(\eta \mid \xi )=-\frac{1}{4}{\mathbb{I}}_{\{\xi =-1\}}-\frac{2}{3}{\mathbb{I}}_{\{\xi =1\}}$$

Ссылка на оригинал

---

Непрерывное условное распределение

Непрерывное условное распределение

Условное распределение непрерывного вектора

$(\xi ,\eta )$ – непрерывный случайный вектор. Условная плотность распределения вычисляется как отношение совместной плотности к маргинальной плотности условия:

$$f_{\xi \mid \eta }(x\mid y)=\frac{f_{\xi ,\eta }(x,y)}{f_{\eta }(y)}$$

Условное математическое ожидание

Математическое ожидание вычисляется через интеграл от произведения значения на условную плотность:

$$E(\xi \mid \eta =y)=\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}x\cdot f_{\xi \mid \eta }(x\mid y)dx$$

Ссылка на оригинал

Пример поиска непрерывного условного распределения

Пример поиска непрерывного условного распределения

Характеристики двумерного непрерывного вектора

Непрерывный случайный вектор $(\xi ,\eta )$ задан плотностью распределения:

$$f_{\xi ,\eta }(x,y)=\{\begin{array}{ll}cy,& (x,y)\in D\\ 0,& (x,y)\notin D\end{array}$$

Требуется найти: константу $c$, условные математические ожидания $\mathbf{E}(\xi |\eta )$ и $\mathbf{E}(\eta |\xi )$.

Нахождение константы $c$

Найдём $c$, используя свойство нормировки плотности:

$${\int }_0^{1}dy{\int }_{y-1}^{2-2y}cydx=c{\int }_0^{1}y\cdot x{|}_{y-1}^{2-2y}dy=$$ $$=c{\int }_0^{1}y(2-2y-y+1)dy=c{\int }_0^1(3y-3y^2)dy=$$ $$=3c\left(\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3}\right){|}_0^1=3c\cdot \frac{1}{6}=\frac{c}{2}=1⟹c=2$$

Нахождение маргинальных плотностей

Найдём плотности $f_{\eta }(y)$ и $f_{\xi }(x)$ по свойству составляющих вектора:

• Для $\eta$ интегрируем по $x$ при $y\in (0,1)$:

$$f_{\eta }(y)={\int }_{y-1}^{2-2y}2ydx=2y(3-3y)=6y(1-y)$$

• Для $\xi$ область интегрирования по $y$ зависит от значения $x$, поэтому разбиваем на два интервала:
  При $x\in (-1,0]$ верхняя граница $y=x+1$: $$f_{\xi }(x)={\int }_0^{x+1}2ydy=y^2{|}_0^{x+1}=(x+1{)}^2$$ При $x\in (0,2]$ верхняя граница $y=-\frac{x}{2}+1$:

$$f_{\xi }(x)={\int }_0^{1-\frac{x}{2}}2ydy=y^2{|}_0^{1-\frac{x}{2}}={\left(1-\frac{x}{2}\right)}^2$$

Нахождение условных плотностей

Вычислим условные плотности по формулам $f_{\xi |\eta }(x|y)=\frac{f_{\xi ,\eta }(x,y)}{f_{\eta }(y)}$ и $f_{\eta |\xi }(y|x)=\frac{f_{\xi ,\eta }(x,y)}{f_{\xi }(x)}$.

• Условная плотность $\xi$ при условии $\eta =y$:

  $$f_{\xi |\eta }(x|y)=\frac{2y}{6y(1-y)}=\frac{1}{3(1-y)},x\in (y-1,2-2y)$$

  Это равномерное распределение на отрезке $[y-1,2-2y]$.

• Условная плотность $\eta$ при условии $\xi =x$:

$$f_{\eta |\xi }(y|x)=\{\begin{array}{ll}\frac{2y}{(x+1{)}^2},& x\in (-1,0],y\in (0,x+1)\\ \frac{2y}{{\left(1-\frac{x}{2}\right)}^2},& x\in (0,2],y\in \left(0,1-\frac{x}{2}\right)\end{array}$$

Вычисление условного математического ожидания $\mathbf{E}(\xi \mid \eta )$

По определению условного математического ожидания:

$$\begin{array}{rl}& \mathbf{E}(\xi \mid \eta =y)=\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}x\cdot f_{\xi \mid \eta }(x\mid y)dx=\underset{y-1}{\overset{2-2y}{\int }}x\cdot \frac{1}{3(1-y)}dx=\\ & =\frac{1}{3(1-y)}\cdot \frac{x^2}{2}{|}_{y-1}^{2-2y}=\frac{1}{6(1-y)}\left((2-2y{)}^2-(y-1{)}^2\right)=\\ & =\frac{1}{6(1-y)}\left(4(1-y{)}^2-(1-y{)}^2\right)=\frac{3(1-y{)}^2}{6(1-y)}=\frac{1-y}{2}\end{array}$$

Альтернативный поиск мат. ожидания

Поскольку условная плотность в этом случае распределена равномерно, то математическое ожидание можно найти по этому свойству.

Следовательно, $\mathbf{E}(\xi \mid \eta )=\frac{1-\eta }{2}$.

Вычисление условного математического ожидания $\mathbf{E}(\eta \mid \xi )$

Найдем условное математическое ожидание на двух участках:

• При $x\in (-1,0]$:

$$\mathbf{E}(\eta \mid \xi =x)=\underset{0}{\overset{x+1}{\int }}y\frac{2y}{(x+1{)}^2}dy=\frac{2}{(x+1{)}^2}\cdot \frac{y^3}{3}{|}_0^{x+1}=\frac{2}{3}(x+1)$$

• При $x\in (0,2]$:

$$\mathbf{E}(\eta \mid \xi =x)=\underset{0}{\overset{1-\frac{x}{2}}{\int }}y\frac{2y}{{\left(1-\frac{x}{2}\right)}^2}dy=\frac{2}{{\left(1-\frac{x}{2}\right)}^2}\cdot \frac{y^3}{3}{|}_0^{1-\frac{x}{2}}=\frac{2}{3}\left(1-\frac{x}{2}\right)$$

Итоговый результат:

$$\mathbf{E}(\eta \mid \xi )=\{\begin{array}{ll}\frac{2}{3}(\xi +1),& \xi \in (-1,0]\\ \frac{2}{3}\left(1-\frac{\xi }{2}\right),& \xi \in (0,2]\end{array}$$

Ссылка на оригинал

Свойства условного математического ожидания

Свойства условного математического ожидания

Все свойства являются следствиями из определения дискретного и непрерывного условного математического ожидания, а также свойств математического ожидания
1.

Свойство линейности

$$E(a\xi +b\mid \eta )=aE(\xi \mid \eta )+b$$

где $a,b$ – константы

Свойство для независимых величин

Если $\xi$ и $\eta$ независимы $⟹$

$$E(\xi \mid \eta )=E(\xi )$$

Свойство функции от условия

$$E(\phi (\eta )\mid \eta )=\phi (\eta )$$

где $\phi (\eta )$ – константа

Свойство вынесения функции от условия

$$E({\phi }_1(\xi )\cdot {\phi }_2(\eta )\mid \eta )={\phi }_2(\eta )E({\phi }_1(\xi )\mid \eta )$$

где $\phi (\eta )$ – константа

Свойство аддитивности

$$E({\xi }_1\pm {\xi }_2\mid \eta )=E({\xi }_1\mid \eta )\pm E({\xi }_2\mid \eta )$$

Ссылка на оригинал

---

Список использованных источников

Материал подготовлен на основе

1. Конспект лекций по ТВиМС от 15.04.2026. Лектор Литвинова В. В.
2. Бородин А. Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики : учебное пособие для вузов / А. Н. Бородин. — 10 е изд., стер. — Санкт Петербург : Лань, 2024. — 256 с. : ил. — Текст : непосредственный
3. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для вузов / В. Е. Гмурман. – 12-е изд. –Москва: Издательство Юрайт, 2024. – 479 с. – (Высшее образование)
4. Нейросеть NotebookLM только для оформления