Равномерное распределение

Видео

Подробнее изучить тему можно в видео на YouTube

Равномерное распределение

Случайная величина $\xi$ соответствует распределению $\mathcal{U}[a,b]$ на отрезке $[a,b]$, если плотность на этом отрезке постоянная, а вне его равна $0$:

$$f_{\xi }(x)=\frac{1}{b-a}\cdot {\mathbb{I}}_{[a;b]}(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b-a},& x\in [a,b]\\ 0,& x\notin [a,b]\end{array}$$

Доказательство почему $\frac{1}{b-a}$

Мы знаем свойство, что ${\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_{\xi }(x)dx=1$. Плотность есть только на отрезке $[a;b]$, а сама функция плотности равна константе $f_{\xi }(x)=C$
Тогда ${\int }_a^b{f}_{\xi }(x)dx={\int }_a^{b}Cdx=Cx{|}_a^b=C(b-a)$
$C(b-a)=1⟹C=\frac{1}{b-a}$

Функция распределения имеет вид:

$${\mathcal{F}}_{\xi }(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x\le a\\ \frac{x-a}{b-a},& x\in (a;b]\\ 1,& x>b\end{array}$$

Доказательство почему $\frac{x-a}{b-a}$

По определению функции распределения НСВ

$$\begin{array}{rl}& {\mathcal{F}}_{\xi }(x)={\int }_{-\infty }^x{f}_{\xi }(x)={\int }_{-\infty }^{a}0dt+{\int }_a^x\frac{1}{b-a}dt=\\ =& \frac{1}{b-a}{\int }_a^{x}dt=\frac{1}{b-a}\cdot t{|}_a^x=\frac{x-a}{b-a}\end{array}$$

Математическое ожидание

$$E\xi =\frac{a+b}{2}$$

Доказательство

$$\begin{array}{rl}& E\xi ={\int }_{-\infty }^{+\infty }x{f}_{\xi }(x)dx={\int }_a^{b}x\cdot \frac{1}{b-a}dx=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}xdx=\\ & =\frac{1}{b-a}\cdot \frac{x^2}{2}{|}_a^b=\frac{b^2-a^2}{2(b-a)}=\frac{a+b}{2}\end{array}$$

Дисперсия

$$Var\xi =\frac{(b-a{)}^2}{12}$$

Доказательство

По свойству дисперсии

$$Var\xi =E{\xi }^2-(E\xi {)}^2$$

Найдём математическое ожидание квадрата

$$E{\xi }^2={\int }_{-\infty }^{+\infty }{x}^2{f}_{\xi }(x)dx={\int }_a^b{x}^2\cdot \frac{1}{b-a}dx=\frac{1}{b-a}\cdot \frac{x^3}{3}{|}_a^b=\frac{b^3-a^3}{3(b-a)}=\frac{b^2+ab+a^2}{3}$$

Подставим найденные значения

$$\begin{array}{rl}& Var\xi =\frac{b^2+ab+a^2}{3}-{\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2=\frac{4b^2+4ab+4a^2-3a^2-6ab-3b^2}{12}=\\ & =\frac{b^2-2ab+a^2}{12}=\frac{(b-a{)}^2}{12}\end{array}$$