Дискретное условное распределение

Условное распределение дискретного случайного вектора

$(\xi ,\eta )$ – дискретный случайный вектор
Условный закон распределения $\xi$ при условии $\eta =y_j$ имеет вид:

$$\xi \mid \eta =y_j\sim \begin{array}{ccccc}{x}_i& x_1& x_2& \dots & x_m\\ t_i& t_1& t_2& \dots & t_m\end{array}$$

Где условная вероятность $t_i$ вычисляется как отношение совместной вероятности к маргинальной вероятности условия:

$$t_i=P\{\xi =x_i\mid \eta =y_j\}=\frac{P\{\xi =x_i,\eta =y_j\}}{P\{\eta =y_j\}}=\frac{p_{ij}}{{\sum }_{k=1}^m{p}_{kj}}$$

Условное дискретное математическое ожидание

Математическое ожидание вычисляется как сумма произведений возможных значений на их условные вероятности:

$$E(\xi \mid \eta =y_j)=\sum _{i=1}^m{x}_i\cdot P\{\xi =x_i\mid \eta =y_j\}$$

Замечание

Результатом вычисления условного математического ожидания является не число, а неслучайная функция от значения $y_j$. Эту функцию называют функцией регрессии $\xi$ на $\eta$.