Пример поиска дискретного условного распределения

Вычисление условных математических ожиданий

Дано:
Таблица совместного распределения двумерного дискретного случайного вектора $(\xi ,\eta )$:

$$\begin{array}{cccc}\xi \setminus \eta & -2& 0& 1\\ -1& 0,1& 0,2& 0,1\\ 1& 0,3& 0,1& 0,2\end{array}$$

Найти условные математические ожидания $E(\xi \mid \eta )$ и $E(\eta \mid \xi )$.

1Вычисление $E(\xi \mid \eta )$

Вычисляем значения условного математического ожидания для каждого возможного значения условия $\eta$:

$$\begin{array}{rl}& E(\xi \mid \eta =-2)=\sum x_{i}P\{\xi =x_i\mid \eta =-2\}=\\ & =-1\cdot P\{\xi =-1\mid \eta =-2\}+1\cdot P\{\xi =1\mid \eta =-2\}=\\ & =-1\cdot \frac{0,1}{0,1+0,3}+1\cdot \frac{0,3}{0,1+0,3}=\frac{1}{2}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}& E(\xi \mid \eta =0)=\sum x_{i}P\{\xi =x_i\mid \eta =0\}=\\ & =-1\cdot P\{\xi =-1\mid \eta =0\}+1\cdot P\{\xi =1\mid \eta =0\}=\\ & =-1\cdot \frac{0,2}{0,2+0,1}+1\cdot \frac{0,1}{0,2+0,1}=-\frac{1}{3}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}& E(\xi \mid \eta =1)=\sum x_{i}P\{\xi =x_i\mid \eta =1\}=\\ & =-1\cdot P\{\xi =-1\mid \eta =1\}+1\cdot P\{\xi =1\mid \eta =1\}=\\ & =-1\cdot \frac{0,1}{0,1+0,2}+1\cdot \frac{0,2}{0,1+0,2}=\frac{1}{3}\end{array}$$

Итоговый вид функции регрессии $\xi$ на $\eta$:

$$E(\xi \mid \eta )=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2},& \eta =-2\\ -\frac{1}{3},& \eta =0\\ \frac{1}{3},& \eta =1\end{array}$$

ИЛИ через индикаторы:

$$E(\xi \mid \eta )=\frac{1}{2}{\mathbb{I}}_{\{\eta =-2\}}-\frac{1}{3}{\mathbb{I}}_{\{\eta =0\}}+\frac{1}{3}{\mathbb{I}}_{\{\eta =1\}}$$

Вычисление $E(\eta \mid \xi )$

Вычисляем значения для каждого возможного значения условия $\xi$:

$$\begin{array}{rl}& E(\eta \mid \xi =-1)=\sum y_{j}P\{\eta =y_j\mid \xi =-1\}=\\ & =-2\cdot P\{\eta =-2\mid \xi =-1\}+0\cdot P\{\eta =0\mid \xi =-1\}+1\cdot P\{\eta =1\mid \xi =-1\}=\\ & =-2\cdot \frac{0,1}{0,1+0,2+0,1}+0\cdot \frac{0,2}{0,1+0,2+0,1}+1\cdot \frac{0,1}{0,1+0,2+0,1}=\\ & =-\frac{2}{4}+0+\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}& E(\eta \mid \xi =1)=\sum y_{j}P\{\eta =y_j\mid \xi =1\}=\\ & =-2\cdot P\{\eta =-2\mid \xi =1\}+0\cdot P\{\eta =0\mid \xi =1\}+1\cdot P\{\eta =1\mid \xi =1\}=\\ & =-2\cdot \frac{0,3}{0,3+0,1+0,2}+0\cdot \frac{0,1}{0,3+0,1+0,2}+1\cdot \frac{0,2}{0,3+0,1+0,2}=\\ & =-\frac{6}{6}+0+\frac{2}{6}=-\frac{2}{3}\end{array}$$

Итоговый вид функции регрессии $\eta$ на $\xi$:

$$E(\eta \mid \xi )=\{\begin{array}{ll}-\frac{1}{4},& \xi =-1\\ -\frac{2}{3},& \xi =1\end{array}$$

ИЛИ через индикаторы:

$$E(\eta \mid \xi )=-\frac{1}{4}{\mathbb{I}}_{\{\xi =-1\}}-\frac{2}{3}{\mathbb{I}}_{\{\xi =1\}}$$