Теорема. Критерий диагонализуемости матрицы оператора

Теорема

Матрица оператора $A$ диагонализируема над полем $\mathbf{C}$ тогда и только тогда,
когда алгебраическая кратность любого собственного числа совпадает
с его геометрической кратностью.

Доказательство

Пусть $a_i$ и $p_i$ — соответственно алгебраическая и геометрическая кратности
собственного числа ${\lambda }_i$, $i=1,\dots ,s$.

«$⟹$»: если матрица диагонализируема, то по теореме об ограничении размерности собственного подпространства

$$0<\dim U_{{\lambda }_i}=p_i\le a_i.$$

При этом

$$\dim L=\sum _{i=1}^s\dim U_{{\lambda }_i}=\sum _{i=1}^s{p}_i.$$

Но Характеристический многочлен степени $n=\dim L$ имеет сумму алгебраических кратностей

$$\sum _{i=1}^s{a}_i=n,$$

поэтому единственный способ выполнить оба равенства — это $p_i=a_i$ для всех $i$.
«$⟸$»: если для каждого $i$ выполнено $p_i=a_i$,
то

$$\sum _{i=1}^s\dim U_{{\lambda }_i}=\sum _{i=1}^s{p}_i=\sum _{i=1}^s{a}_i=\dim L.$$

Значит сумма собственных подпространств заполняет всё $L$, и из каждого $U_{{\lambda }_i}$ можно выбрать $a_i$ линейно независимых векторов. Всего их $\sum a_i=\dim L$, они являются собственными и образуют базис.

Теорема доказана.

линейныйоператор