Теорема. Аннулирующий многочлен

Теперь рассмотрим многочлен от линейных операторов:

$$P(A)=a_0{A}^m+a_1{A}^{m-1}+\dots +a_{n-1}A+I$$

где $A$ - произвольный линейный оператор, а $I$ - тождественный линейный оператор (считаем, что $A^0=Id$)

Аналогично для многочлена от матриц (только с матрицей $E$ вместо тождественного оператора)

Теорема

Для любой матрицы порядка $n$ существуют такие числа $a_0,a_1,\dots ,a_{n^2}\in P$, что многочлен

$$a_0{A}^{n^2}+a_1{A}^{n^2-1}+\dots +a_{n^2-1}A+E=\Theta$$

Доказательство

Множество матриц порядка $n$ образует линейное пространство размерности $n^2$, следовательно любые $n^2+1$ матрицы линейно зависимы
Иначе говоря, для любой матрицы существует аннулирующий многочлен степени $n^2$, такой что $P(A)=\Theta$¹

Замечание

На самом деле существует многочлен степени $n$. Этот факт утверждает теорема Гамильтона–Кэли, о том, что это за многочлен, будет сказано позднее (см. лекцию о собственных числах)

линейныйоператор

Footnotes

1. $\Theta$ - нулевая матрица ↩