Тригонометрическая форма комплексного числа

Тригонометрическая форма комплексного числа

Пусть $z=x_0+i{y}_0$, обозначим на комплексной плоскости точку $M_0\left(x_0,y_0\right)$, изображающую данное число, радиус-вектор и угол, образованный с положительным направлением оси $Re$

Из прямоугольных треугольников видно, что

$$\begin{array}{rl}& \cos \varphi =\frac{x_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}=\frac{x_0}{|z|},\sin \varphi =\frac{y_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}=\frac{y_0}{|z|}\\ & \\ & \Rightarrow z=x_0+i{y}_0=|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi ).\end{array}$$

Такая форма записи называется тригонометрической формой комплексного числа.

Соответствие тригонометрической формы полярным координатам

Если алгебраическая форма, определяющаяся вещественной и мнимой частями комплексного числа $z=x+iy$, соответствует прямоугольным декартовым координатам точки $(x,y)$, то тригонометрической форме, определяемой модулем и аргументом, будут соответствовать полярные координаты изображающей комплексное число точки $(r,\varphi ),r=|z|$. Подобно полярным координатам, которые не определяются для центральной точки, аргумент числа 0 также не определён.

Однозначность аргумента

Из общего вида записи тригонометрической формы видно, что при $\cos \varphi$ и $\sin \varphi$ нет никаких коэффициентов, перед ними стоит знак ” + ” и аргумент $\sin$ и $\cos$ один и тот же.

комплексныечисла