Свойства определителей

1. $\det A=\det A^T$

Доказательство

Определитель это алгебраическая сумма слагаемых.
Если слагаемое $a_{1j_1}\cdot a_{2j_2}\cdot \dots \cdot a_{n{j}_n}\cdot \mathrm{sign}\left(j_1,j_2,\dots ,j_n\right)$ содержалось в разложении определителя $\det A$, то в разложении определителя $\det A^T$ будет присутствовать слагаемое, состоящее из тех же сомножителей-элементов матрицы $A$, поскольку если они располагались в разных строках и строках $A$, то они не смогут оказаться в одной строке (одном столбце) транспонированной матрицы $A^T$. И наоборот.

Осталось сравнить знаки. В транспонированной матрице элементы указанного выше произведения окажутся упорядоченными по увеличению номеров столбцов, а количество инверсий по номерам строк в $A^T$ совпадёт с количеством инверсий номеров столбцов в $A$ (здесь мы воспользовались эквивалентным определением с упорядочиванием по возрастанию номеров не строк, а столбцов)

Таким образом, $\det A$ и $\det A^T$ содержат одни и те же произведения в качестве слагаемых суммы, а, значит, равны.

2. Если какой-либо ряд матрицы $A$ является нулевым, то $\det A=0$.

   В этом случае ноль окажется в каждом из произведений, указанных в определении определителя, следовательно, мы получим сумму нулей.

3. Элементарное преобразование первого типа (перестановка параллельных рядов) меняет знак определителя.

Доказательство

Действительно, если мы меняем местами соседние строки, то перестановка меняет чётность:
$a_{1j_1}{a}_{2j_2}\cdot \dots \cdot a_{i{j}_i}\cdot a_{(i+1)j_{i+1}}\cdot \dots \cdot a_{n{j}_n}$
после перестановки $i-$ й и $(i+1)$-й строк превращается в
$a_{1j_1}{a}_{2j_2}\cdot \dots \cdot a_{i{j}_{i+1}}\cdot a_{(i+1)ji}\cdot \dots \cdot a_{n{j}_n}$

Меняется порядок столбцов $j_i$ и $j_{i+1}$. Следовательно, если их номера образовывали инверсию, она пропадает; если не образовывали - появляется.

Если же мы переставляем строки $i$ и $k$, причём $k-i=m$, это равносильно перестановке соседних строк $2m-1$ раз (сначала $m$ перестановок верхней $i$-й строки с соседними вниз, затем $m-1$ перестановка нижней $k$-й строки вверх, так как одна перестановка уже была совершена с верхней).

Аналогично со столбцами.

4. Матрица с двумя одинаковыми строками (столбцами) имеет нулевой определитель.

   Если переставить эти строки, то, с одной стороны, определитель не поменяется, а, с другой, поменяет знак.

5. Элементарное преобразование второго типа (умножение ряда на число, отличное от нуля) умножает общий определитель на это же число.

   Очевидно, что множитель из этого ряда (строки или столбца) окажется в каждом из произведений.

6. Если все элементы $i$-й строки представлены в виде $a_{ij}=\lambda b_{ij}+\mu c_{ij}$, то $\det A=\lambda \det B+\mu \det C$ (индекс $i$ фиксирован), где матрицы $A,B$ и $C$ отличаются только $i-$ й строкой описанным выше способом (т.е. у $B$ в этой строке элементы $b_{ij}$, у $C$ - элементы $c_{ij}$ ).

Доказательство

Для доказательства просто разобьём алгебраическую сумму определителя надвое:
$\sum a_{1j_1}\cdot \dots \cdot \left(\lambda b_{i{j}_i}+\mu c_{i{j}_i}\right)\cdot \dots \cdot a_{n{j}_n}\cdot \mathrm{sign}\left(j_1,j_2,\dots ,j_n\right)$
$=\lambda \sum a_{1j_1}\cdot \dots \cdot b_{i{j}_i}\cdot \dots \cdot a_{n{j}_n}\cdot \mathrm{sign}\left(j_1,j_2,\dots ,j_n\right)+\mu \sum a_{1j_1}\cdot \dots \cdot c_{i{j}_i}\cdot \dots \cdot a_{n{j}_n}\cdot \mathrm{sign}\left(j_1,j_2,\dots ,j_n\right)$

Утверждение справедливо для любого числа слагаемых.

7. (Следствие из 6). Элементарное преобразование третьего типа не меняет величину определителя.

   Это так, поскольку в одной из матриц прибавленная строка (столбец) встретится дважды.

8. Если матрица $A$ содержит пропорциональные строки $(a_{ij}=\lambda a_{kj}$ по всем $j$ при фиксированных $i,k)$, то $\det A=0$. Аналогично для столбцов.

   Следует из 7: достаточно вычесть пропорциональную строку с коэффициентом $\frac{1}{\lambda }$.

9. Если одна из строк $A_i$ (один из столбцов) матрицы $A$ является линейной комбинациейдругих, т.е. $A_i={\alpha }_1{A}_{i_1}+\dots +{\alpha }_k{A}_{i_k}$, то $\det A=0$.

   Обоснуйте самостоятельно, используя свойство 7.

10. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.

матрица