Операция умножения матриц

Даны строка $A_{1}$ длины $n$ и столбец $B_{1}$ высоты $n$ .
Def. Произведением строки $A_{1}$ и столбца $B_{1}$ называется число, равное сумме произведений их соответствующих элементов, т.е. $A_{1} B_{1} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{n} b_{n}$
Например:

A_{1} \cdot B_{1} = (1234) \cdot 5678 = 1 \cdot 5 + 2 \cdot 6 + 3 \cdot 7 + 4 \cdot 8 = 5 + 12 + 21 + 32 = 70

Пусть теперь даны две матрицы $A_{m \times k}, B_{k \times n}$ , т.е. количество столбцов первой совпадает с количеством строк второй:

a_{11} a_{21} \dots a_{m 1} a_{12} a_{22} a_{m 2} \dots a_{1 k} \dots a_{2 k} \dots a_{mk}, b_{11} b_{21} \dots b_{k 1} b_{12} b_{22} b_{m 2} \dots b_{1 n} \dots b_{2 n} \dots b_{kn} .

Обозначим строки первой матрицы через $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{m}$ , а столбцы второй - через $B_{1}, B_{2}, \dots, B_{n}$ . Будем последовательно умножать каждую строку первой матрицы на каждый столбец второй, при этом

A_{1} \cdot B_{1} = c_{11}, A_{1} \cdot B_{2} = c_{12}, \dots, A_{s} \cdot B_{t} = i = 1 \sum k a_{s i} b_{i t} = c_{s t}, \dots, A_{m} \cdot B_{n} = c_{mn}

Def. Произведением матриц $A_{m \times k}$ и $B_{k \times n}$ называется матрица $C_{m \times n}$ (т.е. матрица размера $m \times n$ ), элемент $c_{ij}$ которой равен произведению $i -$ й строки матрицы $A$ на $j$ -й столбец матрицы $B$ для любых $i \in {1, 2, \dots, m}, j \in {1, 2, \dots, n}$ .

Замечание

Обратите внимание, что вследствие размеров матриц $A$ и $B$ в общем случае умножение $B \cdot A$ невозможно, поскольку матрицы перестают быть подходящими. При этом для квадратных матриц одного размера возможны оба произведения $A B$ и $B A$ .

Примеры

Если $A = (- 1 2 3 - 1 24), B = 1 - 3 4 321$
$A \cdot B = (- 2 21 58)$
произведение $B \cdot A$ невозможно.

Пусть $D = (- 2 1 5 - 1), H = (1 - 2 32)$
$DH = (- 12 3 41), HD = (16 2 - 12)$
при этом $DH \neq = HD$

матрица

etuMath

Проводник

Операция умножения матриц

Вид графа

Обратные ссылки