Пример работы с жордановой матрицей

Пример

Рассмотрим оператор пространства ${\mathbf{R}}^2$, имеющий матрицу

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 3\end{array}\right),{\chi }_A(\lambda )=\det \left(\begin{array}{cc}1-\lambda & -1\\ 1& 3-\lambda \end{array}\right)={\lambda }^2-4\lambda +4,$$

т.е. оператор имеет одно собственное число $2$ алгебраической кратности $2$.

Геометрическая кратность собственного числа:

$$\mathrm{rank}(A-2E)=1$$

Получается, что жорданова форма матрицы $A$ это

$$A_u=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right).$$

Решением ОСЛУ $(A-2E)X=\Theta$ будут векторы вида $(1,-1{)}^T\alpha$,
образующие собственное подпространство размерности 1.

Для жорданова базиса можно выбрать собственный вектор

$$u_1=(1,-1{)}^T.$$

Для поиска второго вектора жорданова базиса необходимо решить НОСЛУ

$$(A-2E)u_2=u_1,$$

т.е.

$$\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right).$$

В результате общим решением будет

$$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\beta (-1,1{)}^T+(-1,0{)}^T.$$

В качестве $u_2$ возьмём, например, вектор $(-1,0{)}^T$.

Проверьте, что ¹

$$A_u=C_{u\to e}{A}_e{C}_{e\to u},$$

зная, что

$$C_{e\to u}=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 0\end{array}\right).$$

линейныйоператор

Footnotes

1. $C_{u\to e}{C}_{e\to u}$ - Матрицы перехода ↩