Ортогональное дополнение

Пусть $L_1\le L$ (Подпространство) и $f_1,f_2,\dots ,f_m$ - базис в $L_1$. Мы можем по методу Грама-Шмидта построить ортогональный базис $e_1,e_2,\dots ,e_m$. Дополним его до ортогонального базиса всего пространства $L$ : $e_1,e_2,\dots ,e_m,e_{m+1},\dots ,e_n$.

Рассмотрим подпространство $L_2$, натянутое на векторы $e_{m+1},\dots ,e_n$, его размерность $\dim L_2=$ $n-m$, причем если $a\in L_1,b\in L_2$ то $a\perp b$ (ортогональны)

Def. Подпространства $L_1$ и $L_2$, построенные описанным выше способом, называются ортогональными дополнениями друг друга.
При этом $L=L_1\oplus L_2$

Дополнение

Таким образом, для любого подпространства евклидова пространства можно построить его ортогональное дополнение, причем для любого $x\in L$ справедливо представление $x=x_1+x_2$, где $x_1\in L_1,x_2\in L_2,x_1\perp x_2$.
При этом $x_1$ называют ортогональной проекцией $x$ на $L_1,x_2$ ортогональной составляющей $x$ относительно подпространства $L_1$.

Очевидно, что ортогональное дополнение к подпространству состоит из всех векторов, ортогональных каждому вектору данного подпространства.

Пример

Самым простым примером подпространства и его ортогонального дополнения являются координатная плоскость с одной стороны и третья ось с другой в пространстве $V^3$

евклидовопространство