Асимптотическая нормальность функции от среднего

Асимптотическая нормальность функции от среднего

Пусть функция $m(y)$ непрерывно дифференцируема в точке $a=Eg(X_k)$ и $m^{\prime }(a)=m^{\prime }(y){|}_{y=a}\ne 0$.
Тогда оценка $\hat{\theta }=m\left(\overline{g(X)}\right)$ является асимптотически нормальной оценкой для

$$\theta =m(Eg(X_k))=m(a)$$

с коэффициентом рассеивания ${\sigma }^2(\theta )={\left(m^{\prime }(a)\right)}^2\cdot Var(g(X_k))$.

Без доказательства.

Связь с методом моментов

Оценка метода моментов имеет вид $m\left(\overline{g(X)}\right)$ (функция от выборочного среднего) и является асимптотически нормальной.
Заметьте, что здесь $m$ обозначает $h^{-1}$ из описания метода моментов.