Состоятельная оценка

Состоятельная оценка

Оценка $\hat{\theta }$ неизвестно параметра $\theta$ называется состоятельной если $\hat{\theta }$ стремится по вероятности к параметру $\theta$.

Значимость состоятельности

Требование состоятельности означает, что последовательность оценок $\hat{\theta }$ приближаются к параметру $\theta$ при увеличении количества данных.

Пример доказательства состоятельности оценки

Пусть $X=(X_1,X_2,\dots ,X_n)\sim {\mathcal{F}}_{\xi }(\theta )$, где $\theta =E{X}_k$.
Возьмем в качестве оценки ${\hat{\theta }}_n=\bar{X}=\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^n{X}_k$.
Показать состоятельность.

Решение

Сумма математических ожиданий всех величин в выборке будет равна

$$\sum _{k=1}^{n}E(X_k)=\underset{n\text{ раз}}{\underbrace{\theta +\theta +\cdots +\theta }}=n\cdot \theta$$

Заметим, что

$$\theta =\frac{1}{n}\cdot n\theta =\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}E(X_k)$$

Покажем, что она состоятельная. Согласно ЗБЧ

$$\forall \epsilon >0\underset{n\to \infty }{\lim }P\left(\left|\underset{\widehat{{\theta }_n}}{\underbrace{\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{X}_k}}-\underset{\theta }{\underbrace{\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}E(X_k)}}\right|<\epsilon \right)=1$$