Свойства выборочного среднего

Свойства выборочного среднего

Выборочное среднее является несмещённой, состоятельной и асимптотически нормальной оценкой математического ожидания.

Доказательство

Несмещённость и состоятельность доказаны ранее. Докажем асимптотическую нормальность:

$$\sqrt{n}(\bar{X}-E{X}_k)\stackrel{d}{\to }N(0,Var(X_k)),n\to \infty .$$

Применим ЦПТ:

$$\sqrt{n}(\bar{X}-E{X}_k)=\frac{n(\bar{X}-E{X}_k)}{\sqrt{n}}=\frac{n\bar{X}-nE{X}_k}{\sqrt{n}}=$$ $$=\frac{{\sum }_{k=1}^n{X}_k-nE{X}_k}{\sqrt{n}}=\frac{{\sum }_{k=1}^n(X_k-E{X}_k)}{\sqrt{n}}=$$ $$=\sigma \cdot \frac{{\sum }_{k=1}^n(X_k-E{X}_k)}{\sqrt{n}\sigma }\stackrel{d}{\to }\sigma \cdot N(0,1)=N(0,Var(X_k)),\sigma =\sqrt{Var(X_k)}.$$

где $\sigma \cdot N(0,1)=N(0,{\sigma }^2)$ – свойство нормального закона.

Следствие для выборочного момента

Выборочный $k$-ый начальный момент является несмещённой, состоятельной и асимптотически нормальной оценкой $k$-ого начального момента.