Свойства нормально распределённых случайных величин

Видео

Изучить тему можно также в видео на YouTube

Свойство

Пусть $\xi$ и $\eta$ – случайные величины.
$\eta =A\xi +B$, где $A>0$ и $B$ – константы.
Если $\xi$ соответствует стандартному нормальному распределению $N(0,1)$, то отсюда следует:

$$\eta \sim N(B,A^2)$$

где $N(B,A^2)$ – нормальное распределение

Доказательство

Посчитаем функцию распределения для $\eta$

$${\mathcal{F}}_{\eta }(t)=P\{\eta <t\}=P\{A\xi +B<t\}=P\left\{\xi <\frac{t-B}{A}\right\}$$

Так как $A>0$ знак неравенства не поменяется

$$\begin{array}{rl}& P\left\{\xi <\frac{t-B}{A}\right\}={\mathcal{F}}_{\xi }\left(\frac{t-B}{A}\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\frac{t-B}{A}}{e}^{-\frac{x^2}{2}}dx=\left[\begin{array}{c}x=\frac{y-B}{A}\\ y=Ax+B\\ dx=\frac{1}{A}dy\\ x=-\infty \Rightarrow y=-\infty \\ x=\frac{t-B}{A}\Rightarrow y=t\end{array}\right]=\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^t{e}^{-\frac{(y-B{)}^2}{2A^2}}\cdot \frac{1}{A}dy=\frac{1}{\sqrt{2\pi }A}{\int }_{-\infty }^t{e}^{-\frac{(y-B{)}^2}{2A^2}}dy\Rightarrow \eta \sim N(B,A^2)\end{array}$$

Свойство

Пусть $\xi$ и $\eta$ – случайные величины.
Если $\xi$ соответствует нормальному распределению $N(a,{\sigma }^2)$, то отсюда следует:

$$\eta =\frac{\xi -a}{\sigma }\sim N(0,1)$$

где $N(0,1)$ – cтандартное нормальное распределение

Доказательство

$$\begin{array}{rl}& {\mathcal{F}}_{\eta }(t)=P\{\eta <t\}=P\left\{\frac{\xi -a}{\sigma }<t\right\}=P\{\xi <a+\sigma t\}={\mathcal{F}}_{\xi }(a+\sigma t)=\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{\int }_{-\infty }^{a+\sigma t}{e}^{-\frac{(x-a{)}^2}{2{\sigma }^2}}dx=\left[\begin{array}{c}y=\frac{x-a}{\sigma }\\ x=a+\sigma y\\ dx=\sigma dy\\ x=a+\sigma t\Rightarrow y=t\end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{\int }_{-\infty }^t{e}^{-\frac{y^2}{2}}\sigma dy=\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^t{e}^{-\frac{y^2}{2}}dy\Rightarrow \eta \sim N(0,1)\end{array}$$

Распределение независимых СВ

Пусть ${\xi }_1$ и ${\xi }_2$ – независимые случайные величины.
Если ${\xi }_1$ соответствует нормальному распределению $N(a_1,{\sigma }_1^2)$, а ${\xi }_2\sim N(a_2,{\sigma }_2^2)$ то отсюда следует:

$${\xi }_1+{\xi }_2\sim N(a_1+a_2,{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2)$$

Правило трех сигм

Пусть $\xi$ – случайная величина которая соответствует нормальному распределению $N(a,{\sigma }^2)$. Тогда её отклонение от математического ожидания $a$, по модулю не превосходит $3\sigma$
Почти все значения нормальной СВ будут находиться в интервале

$$\underset{a-\sigma }{(}\stackrel{\sigma }{\leftrightarrow }\underset{a}{|}\stackrel{\sigma }{\leftrightarrow }\underset{a+\sigma }{)}$$

что позволяет нам работать только внутри него.

Доказательство

$$\begin{array}{rl}& P\{a-3\sigma <\xi <a+3\sigma \}=P\{a-3\sigma -a<\xi -a<a+3\sigma -a\}=\\ & =P\{-3\sigma <\xi -a<3\sigma \}=P\left\{-3<\underset{N(0,1)}{\underbrace{\frac{\xi -a}{\sigma }}}<3\right\}=\Phi (3)-\Phi (-3)=\end{array}$$

Применим свойство функции стандартного нормального распределения

$$\begin{array}{rl}& =\frac{1}{2}+{\Phi }_0(3)-\left(\frac{1}{2}+{\Phi }_0(-3)\right)={\Phi }_0(3)-{\Phi }_0(-3)=\\ & ={\Phi }_0(3)+{\Phi }_0(3)=2\cdot {\Phi }_0(3)\approx 0,9973\end{array}$$

Полученное значение говорит о том, что $P\approx 1$, что доказывает правило 3-х сигм