Случайные величины

Случайная величина

Случайная величина

Случайной величиной (СВ) $\xi$ на вероятностном пространстве называется отображение $\xi =\xi (\omega )$ из множества элементарных исходов $\Omega \to \mathbf{R}$

С интуитивной точки зрения, это величина, которая в результате испытания примет одно и только одно вещественное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин

Ссылка на оригинал

Закон распределения (распределение)

Закон распределения (распределение)

Закон распределения (распределение)

Всё множество вероятностей $P\{\xi <t\}$ для случайной величины $\xi$ для всех $t\in (-\infty ,+\infty )$

Соответствие закону распределения обозначается знаком $\sim$

Пример распределения СВ

Рассмотри ряд распределения СВ на примере орла и решки.

$$\xi \sim \begin{array}{ccc}{x}_i& 0\text{ (решка) }& 1\text{ (орёл) }\\ p_i& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}$$

Вероятности двух элементарных исходов образуют полную группу $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$. Каждому исходу сопоставлено вещественное значение, $0$ для решки и $1$ для орла.

$P=\{0;\frac{1}{2};1\}$ – распределение

Почему именно такое распределение

При $t\le 0$ значений СВ удовлетворяющих условию $\xi <t\le 0$ нет, поэтому $P\{\xi <t\}=0$
При $0<t\le 1$ есть одно значение СВ удовлетворяющее условию $\xi <t\le 1$ это $0$ (решка), $P\{\xi <t\}=\frac{1}{2}$
При $t>1$ оба значение СВ удовлетворяют условию $\xi <t<+\infty$, складываем их вероятности и получаем $P\{\xi <t\}=1$

Ссылка на оригинал

Функция распределения

Функция распределения

Функция распределения

Функция распределения – универсальная характеристика случайной величины определяющая вероятность того, что значение функции $\xi$ в результате испытания окажется меньше числа $t\in (-\infty ,+\infty )$

$${\mathcal{F}}_{\xi }(t)=P\{\xi <t\}$$

Ссылка на оригинал

Свойства функции распределения

Свойства функции распределения

Ограниченность функции

$$0\le {\mathcal{F}}_{\xi }(t)\le 1$$

Следует из определения вероятности

Монотонность возрастания функции

$$t_1<t_2⟹{\mathcal{F}}_{\xi }(t_1)\le {\mathcal{F}}_{\xi }(t_2)$$

Доказательство

${\mathcal{F}}_{\xi }(t_1)=P\{\xi <t_1\}$
${\mathcal{F}}_{\xi }(t_2)=P\{\xi <t_2\}$

$\{\xi <t_1\}\subset \{\xi <t_2\}⟹\underset{\mathcal{F}(t_1)}{\underbrace{P\{\xi <t_1\}}}\le \underset{\mathcal{F}(t_2)}{\underbrace{P\{\xi <t_2\}}}$

Свойство функции

$$\underset{t\to -\infty }{\lim }{\mathcal{F}}_{\xi }(t)=0{\mathcal{F}}_{\xi }(-\infty )=0$$

Доказательство

По определению вероятность не может быть отрицательной

$${\mathcal{F}}_{\xi }(-\infty )=P\{\xi <-\infty \}=P\{\varnothing \}=0$$

Свойство функции

$$\underset{t\to +\infty }{\lim }{\mathcal{F}}_{\xi }(t)=1{\mathcal{F}}_{\xi }(+\infty )=1$$

Доказательство

По определению вероятность содержащая всё пространство элементарных исходов равна $1$

$${\mathcal{F}}_{\xi }(+\infty )=P\{\xi <+\infty \}=P(\Omega )=1$$

Вероятность попадания СВ в промежуток через функцию распределения

$$P\{a\le \xi <b\}={\mathcal{F}}_{\xi }(b)-{\mathcal{F}}_{\xi }(a)$$

Доказательство

Значения строго левее $a$ – это событие $\{\xi <a\}$.
Значения от $a$ (включая саму точку $a$) до $b$ – это событие $\{a\le \xi <b\}$.

Поскольку эти две области покрывают все пространство левее $b$ и не имеют общих точек, мы можем записать событие $\xi <b$ как объединение: $\{\xi <b\}=\{\xi <a\}\cup \{a\le \xi <b\}$.

События $\{\xi <a\}$ и $\{a\le \xi <b\}$ являются несовместными. Их сумма равна

$$P\{\xi <b\}=P\{\xi <a\}+P\{a\le \xi <b\}$$

По определению функции распределения получаем

$${\mathcal{F}}_{\xi }(b)={\mathcal{F}}_{\xi }(a)+P\{a\le \xi <b\}$$

Переносим ${\mathcal{F}}_{\xi }(a)$ влево и получаем требуемое

$$P\{a\le \xi <b\}={\mathcal{F}}_{\xi }(b)-{\mathcal{F}}_{\xi }(a)$$

Ссылка на оригинал

Виды случайных величин

Дискретная случайная величина (ДСВ)

Дискретная случайная величина

ДСВ

Дискретная случайная величина (ДСВ) – случайная величина, у которой функция распределения имеет ступенчатый вид и скачки происходят в точках $\{x_i\}$ на величину $\{p_i\}$, где $i=1\dots .n$

$${\mathcal{F}}_{\xi }(t)=\{\begin{array}{ll}0,& t\le x_1\\ p_1,& t\in (x_1;x_2]\\ p_1+p_2,& t\in (x_2;x_3]\\ ⋮& \\ p_1+p_2+\cdots +p_n=1,& t>x_n\end{array}$$

Принимает значения $\{x_i\}$ с вероятностями $\{p_i\}$:

$$\xi \sim \{x_i,p_{{}_i}\}$$

Сумма вероятностей $p_i$:

$$\sum _i{p}_i=1$$

Пример

Студент имеет 3 попытки сдать экзамен. Вероятность сдать с первой попытки $0,8$ с каждой следующей попыткой вероятность уменьшается вдвое. Найти вероятности появления студента на экзамене для каждой попытки (все случайные величины $\xi$).

Решение

Таблица распределения случайной величины $\xi$:

$x_i$​	1	2	3
$p_i$	$0,8$	$0,08$	$0,12$

Будем считать, что студент приходит на экзамен повторно в том случае, если не сдал в первый раз. Ровно один раз он придет с вероятностью $0,8$ остальные считаем по свойству вероятности для противоположного события:

$$\begin{array}{rl}& p_1=\underset{\text{ровно 1 раз}}{\underbrace{P\{\xi =1\}}}=0,8\\ & p_2=P\{\xi =2\}=0,2\cdot 0,4=0,08\\ & p_3=P\{\xi =3\}=0,2\cdot 0,6=0,12\end{array}$$

В $p_3$ мы не считали шанс того что он сдаст экзамен, так как нам это не важно, на экзамен он придет в обоих случаях.

Ссылка на оригинал

Непрерывная случайная величина (НСВ)

Непрерывная случайная величина

НСВ

Случайная величина, функция распределения которой может быть представлена как

$${\mathcal{F}}_{\xi }(t)={\int }_{-\infty }^t{f}_{\xi }(x)dx,$$

$f_{\xi }(x)$ – называется плотностью распределения

Ссылка на оригинал

Свойства непрерывной случайной величины

Свойства непрерывной случайной величины

Связь плотности и функции распределения

$${\mathcal{F}}_{\xi }^{\prime }(x)=f_{\xi }(x)$$

Следует из определения

Неотрицательность плотности

Пусть $\xi$ – НСВ

$$f_{\xi }(x)\ge 0$$

Следует из свойства монотонного возрастания функции распределения и связи плотности и функции распределения. Производная всегда возрастающей функции не может быть отрицательной.

Плотность всего пространства

Пусть $\xi$ – НСВ

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_{\xi }(x)dx=1$$

Доказательство

Распишем функцию распределения НСВ ${\mathcal{F}}_{\xi }(\infty )$, она по свойству функции распределения равна $1$:

$$\underset{t\to \infty }{\lim }{\mathcal{F}}_{\xi }(t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_{\xi }(x)dx=1$$

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал (строгий конец)

Пусть $\xi$ – НСВ

$$P\{a\le \xi <b\}={\int }_a^b{f}_{\xi }(x)dx$$

Доказательство

Распишем по доказанному свойству функции распределения

$$P\{a\le \xi <b\}={\mathcal{F}}_{\xi }(b)-{\mathcal{F}}_{\xi }(a)$$

Далее распишем определение функции распределения для НСВ и получим требуемое

$${\int }_{-\infty }^b{f}_{\xi }(x)dx-{\int }_{-\infty }^a{f}_{\xi }(x)dx={\int }_a^b{f}_{\xi }(x)dx$$

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в конкретную точку

Пусть $\xi$ – НСВ

$$P\{\xi =a\}=0$$

Доказательство

Пусть $\Delta x\to 0$. Тогда по доказанному свойству попадания в заданный интервал:

$$P\{\xi =a\}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }P\{a\le \xi <a+\Delta x\}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }{\int }_a^{a+\Delta x}{f}_{\xi }(x)dx$$

По теореме о среднем для интегралов:

$$\exists c:{\int }_a^{a+\Delta x}{f}_{\xi }(x)dx=f(c)\cdot (a+\Delta x-a)=f(c)\cdot \Delta x$$

Подставив в предел получим требуемое:

$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }f(c)\cdot \Delta x=0$$

Независимость вероятности от включения границ интервала

Пусть $\xi$ – НСВ

$$P\{a\le \xi <b\}=P\{a<\xi \le b\}=P\{a\le \xi \le b\}=P\{a<\xi <b\}$$

Является следствием из доказанных свойств вероятности попадания в интервал и в конкретную точку

Ссылка на оригинал

Пример поиска плотности и функции распределения

Пример поиск плотности и функции распределения случайной величины

Пример

На отрезок $[0,1]$ бросили точку. Случайная величина $\xi$ – координата этой точки. Найти ${\mathcal{F}}_{\xi }(t),f_{\xi }(t)$

Решение

Функция распределения ${\mathcal{F}}_{\xi }(t)$:

$${\mathcal{F}}_{\xi }(t)=P\{\xi <t\}=\{\begin{array}{ll}0,& t\le 0\\ t,& t\in (0;1]\\ 1,& t>1\end{array}$$

Плотность распределения $f_{\xi }(t)$ (как производная от функции распределения):

$$f_{\xi }(t)={\mathcal{F}}_{\xi }^{\prime }(t)=\{\begin{array}{ll}1,& t\in [0;1]\\ 0,& t\notin [0;1]\end{array}$$

Ссылка на оригинал

---

Список использованных источников

Материал подготовлен на основе

1. Конспект лекций по ТВиМС от 04.03.2026. Лектор Литвинова В. В.
2. Бородин А. Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики : учебное пособие для вузов / А. Н. Бородин. — 10 е изд., стер. — Санкт Петербург : Лань, 2024. — 256 с. : ил. — Текст : непосредственный
3. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для вузов / В. Е. Гмурман. – 12-е изд. –Москва: Издательство Юрайт, 2024. – 479 с. – (Высшее образование)
4. Нейросеть NotebookLM только для оформления