Теорема. Собственные векторы и собственные числа из диагональной матрицы

Теорема

Если в некотором базисе $e$ матрица оператора имеет диагональный вид, то все векторы этого базиса являются собственными векторами, а числа, стоящие на диагонали - собственными числами, то есть $A\left(e_k\right)={\lambda }_k{e}_k$
$k=1,\dots ,\mathrm{dimL}$ ¹

(Следует из определения).

Пример

В рассмотренном примере для алгоритма поиска собственных чисел выберем базис $u_1=(1,-1{)}^T,u_2=(2,5{)}^T$. В этом базисе матрица оператора будет иметь вид:

$$\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 6\end{array}\right)$$

Проверьте, что именно эта матрица получается в результате совершения действий:

$$A_u=C_{u\to e}{A}_e{C}_{e\to u}$$

²

линейныйоператор

Footnotes

1. $\mathrm{dimL}$ - Размерность линейного пространства ↩

2. $C_{u\to e}$ и $C_{e\to u}$ - Матрицы перехода ↩