Теорема. Связь столбца координат в двух базисах (Матрица перехода)

Теорема

Пусть в линейном пространстве $L$ заданы два базиса: $g_1,g_2,\dots ,g_n$ и $f_1,f_2,\dots ,f_n$. Разложим второй базис по первому:
$f_1=a_{11}{g}_1+a_{12}{g}_2+\dots +a_{1n}{g}_n$
$f_2=a_{21}{g}_1+a_{22}{g}_2+\dots +a_{2n}{g}_n$
$f_n=a_{n1}{g}_1+a_{n2}{g}_2+\dots +a_{nn}{g}_n$
Теорема: Пусть $x\in L$ и $x_g$ - координаты $x$ в базисе $g$, а $x_f$ - координаты $x$ в базисе $f$.
Тогда координаты вектора в двух данных базисах связаны следующим образом:

$$x_g=C_{g\to f}\cdot x_f$$

где $G_{g\to f}$ - матрица перехода от $g$ к $f$, столбцы которой это координаты $f_i$ в базисе $g$ :

$$C_{g\to f}=\left(\begin{array}{llll}{\left(f_1\right)}_g& {\left(f_2\right)}_g& \dots & {\left(f_n\right)}_g\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{21}& \dots & a_{n1}\\ a_{12}& a_{22}& \dots & a_{n2}\\ \dots & & & \\ a_{1n}& a_{2n}& \dots & a_{nn}\end{array}\right)$$

Доказательство

Пусть $x_g={\alpha }_1{g}_1+\dots +{\alpha }_n{g}_n$ и $x_f={\beta }_1{f}_1+\dots +{\beta }_n{f}_n$, или в координатах:
$x_g={\left({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n\right)}^T,x_f={\left({\beta }_1,\dots ,{\beta }_n\right)}^T$.
Подставим в $x$ вместо векторов $f_i$ их выражения в базисе $g$ : $x={\beta }_1\left(a_{11}{g}_1+a_{12}{g}_2+\dots +a_{1n}{g}_n\right)+\dots +{\beta }_n\left(a_{n1}{g}_1+a_{n2}{g}_2+\dots +a_{nn}{g}_n\right)$

Так как разложение по базису единственно, то:

$$\begin{array}{rl}& {\alpha }_1={\beta }_1{a}_{11}+{\beta }_2{a}_{21}+\dots +{\beta }_n{a}_{n1},\\ & {\alpha }_2={\beta }_1{a}_{12}+{\beta }_2{a}_{22}+\dots +{\beta }_n{a}_{n2},\\ & \dots \\ & {\alpha }_n={\beta }_1{a}_{1n}+{\beta }_2{a}_{2n}+\dots +{\beta }_n{a}_{nn},\end{array}$$

или в матричном виде:

$$\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ {\alpha }_2\\ \dots \\ {\alpha }_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{21}& \dots & a_{n1}\\ a_{12}& a_{22}& \dots & a_{n2}\\ \dots & & & \\ a_{1n}& a_{2n}& \dots & a_{nn}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{\beta }_1\\ {\beta }_2\\ \dots \\ {\beta }_n\end{array}\right)$$

(поясните, почему определитель $\det C_{g\to f}\ne 0$ )

Таким образом, мы получили, что $x_g=C_{g\to f}\cdot x_f$

Следствие

$C_{f\to g}=C_{g\to f}^{-1}$
где $C_{g\to f}^{-1}$ - Обратная матрица

Замечание

Рассмотрим ещё раз пространство ${\mathbf{R}}^n$ с его естественным базисом$e_1=(1,0,\dots ,0{)}^T,\dots ,e_n=$ $(0,0,\dots ,1{)}^T$.
Пусть $f_1,f_2,\dots ,f_n$ - какой-то другой базис данного пространства. Матрицу, столбцы которой представляют собой координаты векторов $f_1,f_2,\dots ,f_n$ в стандартном базисе будем называть матрицей данного базиса. Обозначим её за $F$. Очевидно, что в данном случае $F=C_{e\to f}$

линейноепространство