Теорема. Определитель произведения матриц

Теорема

Если $C=A\cdot B$, то

$$\det C=\det A\cdot \det B$$

для $A,B\in M_{n\times n}$

Доказательство

Построим матрицу $D=\left(\begin{array}{cc}A& \Theta \\ -E& B\end{array}\right)$ порядка $2n$.
По теореме об определителе матричных блоков: $\det D=\det A\cdot \det B$.

С другой стороны, пользуясь теоремой о произведении матричных блоков получаем, что

$$\begin{array}{rl}& \det \left(\begin{array}{cc}E& A\\ \Theta & E\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}A& \Theta \\ -E& B\end{array}\right)=\det \left(\begin{array}{cc}\Theta & AB\\ -E& B\end{array}\right)=(-1{)}^n\cdot \det \left(\begin{array}{cc}AB& \Theta \\ B& -E\end{array}\right)=\\ & =(-1{)}^n(-1{)}^n\cdot \det \left(\begin{array}{cc}AB& \Theta \\ B& E\end{array}\right)=\det \left(\begin{array}{cc}AB& \Theta \\ B& E\end{array}\right)=\det AB.\end{array}$$

(в процессе преобразований переставлялись вертикальные блоки и выносился множитель - 1 из матрицы $-E$ )

При умножении на матрицу $\left(\begin{array}{cc}E& A\\ \Theta & E\end{array}\right)$ определитель не меняется, поскольку умножение на треугольную матрицу с единицами на главной диагонали эквивалентно совершению элементарных преобразований третьего типа, не меняющих значение определителя.

Теорема доказана.

матрица