Теорема Фридгольма

Теорема

Образ оператора $A$ и ядро сопряжённого оператора $A^{\ast }$ ортогональны, и

$$\mathrm{Im}A=(\mathrm{Ker}{A}^{\ast }{)}^{\perp }.$$

¹

Доказательство

Пусть $x\in \mathrm{Im}A$ и $y\in \mathrm{Ker}{A}^{\ast }$.
Тогда существует $z\in L$ такой, что $A(z)=x$, и

$$(x,y)=(A(z),y)=(z,A^{\ast }(y))=(z,0)=0.$$

Значит $\mathrm{Im}A\perp \mathrm{Ker}{A}^{\ast }$.

Выберем ортонормированные базисы
$\{e_1,\dots ,e_k\}$ для $\mathrm{Im}A$ и
$\{f_1,\dots ,f_m\}$ для $\mathrm{Ker}{A}^{\ast }$.
Поскольку ²

$$k=\dim \mathrm{Im}A=\mathrm{rank}A,m=\dim \mathrm{Ker}{A}^{\ast }=\dim L-\mathrm{rank}{A}^{\ast }=\dim L-\mathrm{rank}A,$$

то

$$\dim \mathrm{Im}A+\dim \mathrm{Ker}{A}^{\ast }=k+m=\dim L.$$

Отсюда и следует ¹

$$\mathrm{Im}A=(\mathrm{Ker}{A}^{\ast }{)}^{\perp }.$$

линейныйоператор

Footnotes

1. $(\mathrm{Ker}{A}^{\ast }{)}^{\perp }$ - Ортогональное дополнение подпространства $\mathrm{Ker}{A}^{\ast }$ ↩ ↩²

2. $\dim \mathrm{Im}A$ и $\dim \mathrm{Ker}{A}^{\ast }$ - Размерность образа и ядра соответственно ↩