Леммы для матрицы сопряжённого оператора

Для исследования матрицы сопряжённого оператора докажем несколько лемм.

Лемма 1

Пусть матрица $A$ имеет размер $n\times n$.
Если $A{x}^T=\theta$ для любого столбца $x^T$ высоты $n$, то $A=\Theta$.

Доказательство
Иначе говоря, оператор $n$-мерного пространства $L$, соответствующий матрице $A$, обращает каждый вектор в нуль, в частности базисные векторы. Следовательно, его матрица нулевая.

Лемма 2

Пусть матрица $A$ имеет размер $n\times n$.
Если для любой строки $x$ длины $n$ и любого столбца $y^T$ высоты $n$ выполнено
$xA{y}^T=0$, то $A=\Theta$.

Доказательство
Так как $x$ и $y^T$ произвольны, можно взять $x=(A{y}^T{)}^T$. Тогда

$$(A{y}^T{)}^{T}A{y}^T=0.$$

В терминах скалярного произведения это скалярный квадрат; он равен 0
только если $A{y}^T=\theta$ для всех $y$, то есть $A=\Theta$.

Лемма 3

Пусть матрицы$A,B$ имеют размер $n\times n$.
Если для любой строки $x$ длины $n$ и любого столбца $y^T$ высоты $n$ выполнено
$xA{y}^T=xB{y}^T$, то $A=B$.

Доказательство
$xA{y}^T=xB{y}^T⟺x(A-B)y^T=0.$
По лемме 2 это возможно только при $A-B=\Theta$, т.е. $A=B$.

линейныйоператор