Числовые характеристики случайной величины. Функция случайной величины

Числовые характеристики

Математическое ожидание

Математическое ожидание

Видео

Подробнее изучить тему можно на youtube

Математическое ожидание

Пусть задано вероятностное пространство. Математическим ожидание для случайной величины $\xi$ называется число

$$E\xi ={\int }_{\Omega }\xi dP$$

Физический смысл

Показывает, какое в среднем значение принимает случайная величина при многократном повторении испытаний

Математическое ожидание для ДСВ

Сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их соответствующие вероятности:

$$E\xi =\sum _{i=1}^n{x}_i{p}_i$$

Математическое ожидание для НСВ

Определенный несобственный интеграл от произведения возможных значений $x$ на плотность распределения $f(x)$:

$$E\xi =\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}xf(x)dx$$

Ссылка на оригинал

Свойства математического ожидания

Свойства математического ожидания

Все свойства являются следствием из определения математического ожидания
1.

Математическое ожидание константы

$$Ec=c$$

Свойство аддитивности

$$E(\xi +\eta )=E\xi +E\eta$$

Свойство однородности

$$E(a\xi )=aE\xi$$

Свойство линейности

$$E(a\xi +b)=aE\xi +b$$

где $a,b$ – константы

Математическое ожидание произведения независимых СВ

$\xi ,\eta$ – независимы $⟹E(\xi \cdot \eta )=E\xi \cdot E\eta$

Ссылка на оригинал

Дисперсия

Дисперсия

Видео

Подробнее изучить тему можно на youtube

Дисперсия

Дисперсией случайной величины $\xi$ называется число равное математическому ожиданию квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания

$$Var\xi =E(\xi -E\xi {)}^2$$

Физический смысл

Дисперсия показывает меру отклонения $\xi$ от её мат. ожидания. Чем ниже дисперсия, тем меньше разброс значений случайной величины

Размерность

Имеет квадратичную размерность относительно случайной величины. То есть если СВ измеряется в метрах, то дисперсия в м${}^2$

Альтернативные обозначения

В отечественной литературе дисперсию принято обозначать как $D\xi$, обозначение $Var$ используется в зарубежной литературе и этом курсе.

Дисперсия ДСВ

$$Var\xi =\sum _{i=1}^n(x_i-E\xi {)}^2\cdot p_i$$

Дисперсия НСВ

$$Var\xi ={\int }_{-\infty }^{+\infty }(x-E\xi {)}^{2}f(x)dx$$

Ссылка на оригинал

Свойства дисперсии

Свойства дисперсии

Все свойства являются следствием из определения дисперсии
1.

Дисперсия константы

$$Var(c)=0$$

Альтернативная формула дисперсии

$$Var(\xi )=E{\xi }^2-(E\xi {)}^2$$

где
$E{\xi }^2={\int }_{-\infty }^{+\infty }{x}^2\cdot f(x)dx$ (для НСВ)
$E{\xi }^2={\sum }_{i=1}^n{x}_i^2\cdot p_i$ (для ДСВ)

Свойство квадратичной однородности

$$Var(a\xi )=a^2\cdot Var(\xi )$$

Свойство аддитивности для константы

$Var(\xi +a)=Var(\xi )$

Дисперсия суммы независимых СВ

Если $\xi$ и $\eta$ независимы $\Rightarrow Var(\xi +\eta )=Var(\xi )+Var(\eta )$

Ссылка на оригинал

Среднеквадратичное отклонение

Среднеквадратичное отклонение

Среднеквадратичное отклонение (СКО)

Квадратный корень из дисперсии:

$$\sigma (\xi )=\sqrt{Var(\xi )}$$

Зачем нужно?

Дисперсия измеряется в квадратных единицах. Извлекая корень мы получаем линейный разброс данных. Если отложить от математического ожидания влево и вправо СКО, то мы получим интервал ($E\xi -\sigma$; $E\xi +\sigma$), внутри которого сосредоточена основная масса наших данных с наибольшими вероятностями.

Ссылка на оригинал

Моменты случайной величины

Моменты случайной величины

Видео

Подробнее изучить тему можно на youtube

Начальный момент $k$-го порядка

Математическое ожидание $k$-ой степени случайной величины

$${\alpha }_k=E{\xi }^k$$

Центральный момент $k$-го порядка

Математическое ожидание $k$-ой степени отклонения случайной величины от ее математического ожидания

$${\mu }_k=E(\xi -E\xi {)}^k$$

Зачем нужны?

Далее вы увидите, что моменты упрощают поиск дисперсии
И с помощью них находятся коэффициент асимметрии и эксцесс

Ссылка на оригинал

Свойства моментов случайной величины

Свойства моментов случайной величины

Центральный момент 1-го порядка

$${\mu }_1=0$$

Доказательство

$$E(\xi -E\xi {)}^1=E\xi -E(E\xi )=E\xi -E\xi =0$$

Второй центральный момент через начальные моменты

$${\mu }_2={\alpha }_2-{\alpha }_1^2$$

Дисперсия

Центральный момент $2$-го порядка является дисперсией. Это свойство является альтернативной формулой для дисперсии

Доказательство

$$E(\xi -E\xi {)}^2=var\xi =E{\xi }^2-(E\xi {)}^2={\alpha }_2-{\alpha }_1^2$$

Третий центральный момент через начальные моменты

$${\mu }_3={\alpha }_3-3{\alpha }_1{\alpha }_2+2{\alpha }_1^3$$

Доказательство

$$\begin{array}{rl}& E(\xi -E\xi {)}^3=E({\xi }^3-3{\xi }^2\cdot E\xi +3\xi (E\xi {)}^2-(E\xi {)}^3)=E{\xi }^3-3\cdot {\alpha }_1\cdot E{\xi }^2+3{\alpha }_1^2\cdot E\xi -{\alpha }_1^3=\\ & ={\alpha }_3-3{\alpha }_1{\alpha }_2+3{\alpha }_1^3-{\alpha }_1^3={\alpha }_3-3{\alpha }_1{\alpha }_2+2{\alpha }_1^3\end{array}$$

Четвертый центральный момент через начальные моменты

$${\mu }_4={\alpha }_4-4{\alpha }_1{\alpha }_3+6{\alpha }_2{\alpha }_1^2-3{\alpha }_1^4$$

Доказательство

$$\begin{array}{rl}& E(\xi -E\xi {)}^4=E({\xi }^4-4{\xi }^3\cdot E\xi +6{\xi }^2(E\xi {)}^2-4\xi \cdot (E\xi {)}^3+(E\xi {)}^4)=\\ & =E{\xi }^4-4{\alpha }_{1}E{\xi }^3+6{\alpha }_1^2\cdot E{\xi }^2-4{\alpha }_1^3\cdot E\xi +{\alpha }_1^4=\\ & ={\alpha }_4-4{\alpha }_1{\alpha }_3+6{\alpha }_1^2{\alpha }_2-4{\alpha }_1^4+{\alpha }_1^4={\alpha }_4-4{\alpha }_1{\alpha }_3+6{\alpha }_2{\alpha }_1^2-3{\alpha }_1^4\end{array}$$

Ссылка на оригинал

Коэффициент асимметрии случайной величины

Коэффициент асимметрии случайной величины

Коэффициент асимметрии случайной величины

Отношение центрального момента третьего порядка к среднему квадратическому отклонению в третьей степени

$$A_s=\frac{{\mu }_3}{{\sigma }^3}$$

Характеризует «скошенность» распределения по отношению к математическому ожиданию
$A_s=0$ – распределение симметрично;
$A_s<0$ – распределение «скошенно» влево;
$A_s>0$ – распределение «скошенно» вправо;

Ссылка на оригинал

Эксцесс

Эксцесс

Эксцесс

Отношение центрального момента четвертого порядка к четвертой степени среднего квадратического отклонения минус $3$

$$E_s=\frac{{\mu }_4}{{\sigma }^4}-3$$

Характеризует «сглаженность» распределения по отношению к нормальному распределению.
$E_s=0$ – для нормального распределения
$E_s<0$ – для более пологих распределений
$E_s>0$ – для островершинных распределений

Ссылка на оригинал

Мода случайной величины

Мода случайной величины

Мода

Наиболее вероятное значение $M_0$ случайной величины

Сколько мод может быть

Мода не обязательна единственна. Если она одна то распределение называется унимодальным, если несколько – мультимодальным. На практике стараются брать унимодальное распределение для точности.

Ссылка на оригинал

Медиана случайной величины

Медиана случайной величины

Медиана

Значение $M_e$ случайной величины $\xi$ при котором $P\{\xi <M_e\}=P\{\xi \ge M_e\}=\frac{1}{2}$
Функция распределения ${\mathcal{F}}_{\xi }(M_e)=\frac{1}{2}$

Ссылка на оригинал

Квантиль случайно величины

Квантиль случайной величины

Квантиль уровня $\alpha$

Называется число $x_{\alpha }$ ($\alpha \in (0,1)$) случайной величины $\xi$, такое что

1. $P\{\xi \le x_{\alpha }\}\ge \alpha$

2. $P\{\xi \ge x_{\alpha }\}\le 1-\alpha$

Квантиль непрерывной случайной величины

Для НСВ ${\mathcal{F}}_{\xi }(x_{\alpha })=\alpha$

Ссылка на оригинал

Функция случайной величины

Функция случайной величины

Функция случайной величины

Если каждому возможному значению случайной величины $\xi$ соответствует одно возможное значение новой случайной величины $\eta$, то их связь описывается через неслучайную функцию $\phi$:

$$\eta =\phi (\xi )$$

Ссылка на оригинал

Функция дискретной случайной величины

Функция дискретной случайной величины

Видео

Подробнее изучить тему можно на youtube

Функция ДСВ

Пусть дискретная случайная величина $\xi \sim \{x_i;p_i\}$
Функция $\phi (x)$ переводит значения $\xi$ в значения новой ДСВ сохраняя исходные вероятности. Полученная случайная величина $\eta$ называется функцией дискретной случайной величины $\xi$.

$$\eta =\phi (\xi )⟹\eta \sim \{\phi (x_i),p_i\}$$

Несколько одинаковых значений у функции

Если функция принимает одинаковые значения, то вероятности этих значений просто складываем.
Например для дискретной случайной величина $\xi \sim \begin{array}{cccc}{x}_i& -2& 2& 3\\ p_i& 0,1& 0,3& 0,6\end{array}$
Случайная величина $\eta =\phi (\xi )={\xi }^2$ примет вид $\eta \sim \begin{array}{ccc}{y}_i& 4& 9\\ p_i& 0,4& 0,6\end{array}$

Пример

Дана случайная величина $\xi \sim \begin{array}{ccccc}{x}_i& -1& 0& 1& 2\\ p_i& 0,3& 0,1& 0,1& 0,5\end{array}$ . Найти распределение случайной величины $\eta ={\xi }^2$.

Решение

Вычисляем значения $\eta$ для каждого значения $\xi$ и соответствующие вероятности:

$$\begin{array}{rl}& \xi =-1,\eta =(-1{)}^2=1,P=0,3.\\ & \xi =0,\eta =0^2=0,P=0,1.\\ & \xi =1,\eta =1^2=1,P=0,1.\\ & \xi =2,\eta =2^2=4,P=0,5.\end{array}$$

Получаем итоговое распределение $\eta \sim \begin{array}{cccc}{y}_i& 0& 1& 4\\ p_i& 0,1& 0,4& 0,5\end{array}$

Ссылка на оригинал

Функция непрерывной случайной величины

Функция непрерывной случайной величины

Функция непрерывной случайной величины

Пусть НСВ $\xi \sim f_{\xi }(x)$
Функция $\phi (x)$ переводит значения $\xi$ в значения новой НСВ
Полученная случайная величина $\eta$ называется функцией непрерывной случайной величины $\xi$

$$\eta =\phi (\xi )⟹\eta \sim f_{\eta }(y)$$

Отличие от функции ДСВ

При работе с функциями непрерывных величин задача сводится к нахождению плотности распределения новой случайной величины $f_{\eta }(y)$.

Ссылка на оригинал

Теорема. Плотность распределения функции случайной величины

Плотность распределения функции случайной величины

Теорема

Пусть НСВ $\xi \sim f_{\xi }(x)$
Функция $\phi (x)$ определена при всех $x$, у которых существует плотность, монотонна (строго убывает или возрастает) и дифференцируема.

Тогда плотность распределения у функции НСВ $\eta =\phi (\xi )$ примет вид:

$$f_{\eta }(y)=f_{\xi }({\phi }^{-1}(y))\cdot |({\phi }^{-1}(y){)}^{\prime }|$$

Доказательство

По определению $\phi (x)=y$ (сопоставляем значения $\xi$ и получаем значения $\eta$)
$x={\phi }^{-1}(y)$ – обратная функция для $\phi (x)$

Найдём функцию распределения случайной величины $\eta$:

$${\mathcal{F}}_{\eta }(y)=P\{\eta <y\}=P\{\phi (\xi )<y\}=P\{\phi (\xi )<\phi (x)\}$$

• Для монотонно возрастающей функции
  Если $\phi (\xi )<\phi (x)$, то $\xi <x$ (значение меньше достигается при меньшем аргументе). Тогда:

$$P\{\phi (\xi )<\phi (x)\}=P\{\xi <{\phi }^{-1}(y)\}={\mathcal{F}}_{\xi }({\phi }^{-1}(y))$$

Теперь найдем плотность распределения случайной величины $\eta$:

$$f_{\eta }(y)=({\mathcal{F}}_{\eta }(y){)}^{\prime }=({\mathcal{F}}_{\xi }({\phi }^{-1}(y)){)}^{\prime }=f_{\xi }({\phi }^{-1}(y))\cdot ({\phi }^{-1}(y){)}^{\prime }$$

• Для монотонно убывающей функции
  Если $\phi (\xi )<\phi (x)$, то $\xi >x$ (значение меньше достигается при большем аргументе). Тогда:

$$P\{\phi (\xi )<\phi (x)\}=P\{\xi >{\phi }^{-1}(y)\}=1-P\{\xi <{\phi }^{-1}(y)\}=1-{\mathcal{F}}_{\xi }({\phi }^{-1}(y))$$

Теперь найдем плотность распределения случайной величины $\eta$:

$$f_{\eta }(y)=({\mathcal{F}}_{\eta }(y){)}^{\prime }=(-{\mathcal{F}}_{\xi }({\phi }^{-1}(y)){)}^{\prime }=-f_{\xi }({\phi }^{-1}(y))\cdot ({\phi }^{-1}(y){)}^{\prime }$$

Так как для убывающей функции производная обратной функции $({\phi }^{-1}(y){)}^{\prime }$ всегда отрицательна, второй случай в итоге даст положительное значение (плотность неотрицательна), поэтому мы можем объединить два случая в один с помощью модуля¹ :

$$f_{\eta }(y)=f_{\xi }({\phi }^{-1}(y))\cdot |({\phi }^{-1}(y){)}^{\prime }|$$

Следствие. Плотность распределения не монотонной функции

Если функция $\phi (x)$ не является монотонной, для нахождения плотности распределения её разбивают на несколько кусочков где функция монотонна, и суммируют их

$$f_{\eta }(y)=\sum _{i=1}^k{f}_{\xi }({\phi }_i^{-1}(y))\cdot |({\phi }_i^{-1}(y){)}^{\prime }|$$

Где ${\phi }_i^{-1}(y)$ – обратная функция на $i$-ом интервале монотонности.

Пример поиска функции случайной величины для не монотонной функции

Дано: $\xi \sim f_{\xi }(x)=e^{-x}\cdot {\mathbb{I}}_{\{x<0\}}(x)$².
Найти плотность распределения случайной величины $\eta =(\xi -1{)}^2$.

Решение

Функция преобразования: $\phi (x)=(x-1{)}^2$.

Функция немонотонна, разбиваем её на два интервала монотонности:

• Интервал $x>1$ (возрастание)
  $y=(x-1{)}^2⟹x-1=\sqrt{y}⟹x=1+\sqrt{y}$
  Обратная функция: ${\phi }_1^{-1}(y)=1+\sqrt{y}$.
  Производная: $({\phi }_1^{-1}(y){)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{y}}$.

• Интервал $x<1$ (убывание)

$$y=(x-1{)}^2⟹1-x=\sqrt{y}⟹x=1-\sqrt{y}$$

Обратная функция: ${\phi }_2^{-1}(y)=1-\sqrt{y}$.
Производная: $({\phi }_2^{-1}(y){)}^{\prime }=-\frac{1}{2\sqrt{y}}$.

По следствию из теоремы:

$$f_{\eta }(y)=f_{\xi }(1+\sqrt{y})\cdot \left|\frac{1}{2\sqrt{y}}\right|+f_{\xi }(1-\sqrt{y})\cdot \left|-\frac{1}{2\sqrt{y}}\right|$$

Подставляем значения в исходную плотность $f_{\xi }(x)=e^{-x}\cdot {\mathbb{I}}_{\{x<0\}}(x)$:

$$f_{\eta }(y)=e^{-(1+\sqrt{y})}\cdot {\mathbb{I}}_{\{1+\sqrt{y}>0\}}(y)\cdot \frac{1}{2\sqrt{y}}+e^{-(1-\sqrt{y})}\cdot {\mathbb{I}}_{\{1-\sqrt{y}>0\}}(y)\cdot \frac{1}{2\sqrt{y}}$$

Теперь необходимо упростить запись. Проанализируем индикаторы событий:

1. $1+\sqrt{y}>0$ выполняется при всех $y>0$.
2. $1-\sqrt{y}>0⟹\sqrt{y}<1⟹y\in [0,1]$.
   Итоговая плотность:

$$f_{\eta }(y)=\frac{e^{-(1+\sqrt{y})}}{2\sqrt{y}}\cdot {\mathbb{I}}_{\{y>0\}}(y)+\frac{e^{-(1-\sqrt{y})}}{2\sqrt{y}}\cdot {\mathbb{I}}_{\{y\in [0,1]\}}(y)$$

В классическом варианте записи

$$f_{\eta }(y)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2\sqrt{y}}\left(e^{-(1+\sqrt{y})}+e^{-(1-\sqrt{y})}\right),& y\in (0,1]\\ \frac{1}{2\sqrt{y}}{e}^{-(1+\sqrt{y})},& y>1\\ 0,& y\le 0\end{array}$$

Почему $0$ не включен

Точка ноль стала нестрогой, чтобы избежать деления на ноль. Вероятность от этого не поменяется из-за этого свойства

Footnotes

1. Для $A<0:-A=|A|$ ↩

2. Индикатор события ↩

Ссылка на оригинал

---

Список использованных источников

Материал подготовлен на основе

1. Конспект лекций по ТВиМС от 18.03.2026. Лектор Литвинова В. В.
2. Бородин А. Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики : учебное пособие для вузов / А. Н. Бородин. — 10 е изд., стер. — Санкт Петербург : Лань, 2024. — 256 с. : ил. — Текст : непосредственный
3. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для вузов / В. Е. Гмурман. – 12-е изд. –Москва: Издательство Юрайт, 2024. – 479 с. – (Высшее образование)
4. Нейросеть NotebookLM только для оформления
5. Видео. Лекция 8. Функции случайных величин.
6. Видео. Лекция 10. Числовые характеристики случайных величин. Мат.ожидание, дисперсия, мода, медиана и т.д.