Функция дискретной случайной величины

Видео

Подробнее изучить тему можно на youtube

Функция ДСВ

Пусть дискретная случайная величина $\xi \sim \{x_i;p_i\}$
Функция $\phi (x)$ переводит значения $\xi$ в значения новой ДСВ сохраняя исходные вероятности. Полученная случайная величина $\eta$ называется функцией дискретной случайной величины $\xi$.

$$\eta =\phi (\xi )⟹\eta \sim \{\phi (x_i),p_i\}$$

Несколько одинаковых значений у функции

Если функция принимает одинаковые значения, то вероятности этих значений просто складываем.
Например для дискретной случайной величина $\xi \sim \begin{array}{cccc}{x}_i& -2& 2& 3\\ p_i& 0,1& 0,3& 0,6\end{array}$
Случайная величина $\eta =\phi (\xi )={\xi }^2$ примет вид $\eta \sim \begin{array}{ccc}{y}_i& 4& 9\\ p_i& 0,4& 0,6\end{array}$

Пример

Дана случайная величина $\xi \sim \begin{array}{ccccc}{x}_i& -1& 0& 1& 2\\ p_i& 0,3& 0,1& 0,1& 0,5\end{array}$ . Найти распределение случайной величины $\eta ={\xi }^2$.

Решение

Вычисляем значения $\eta$ для каждого значения $\xi$ и соответствующие вероятности:

$$\begin{array}{rl}& \xi =-1,\eta =(-1{)}^2=1,P=0,3.\\ & \xi =0,\eta =0^2=0,P=0,1.\\ & \xi =1,\eta =1^2=1,P=0,1.\\ & \xi =2,\eta =2^2=4,P=0,5.\end{array}$$

Получаем итоговое распределение $\eta \sim \begin{array}{cccc}{y}_i& 0& 1& 4\\ p_i& 0,1& 0,4& 0,5\end{array}$