Плотность распределения функции случайной величины

Теорема

Пусть НСВ $\xi \sim f_{\xi }(x)$
Функция $\phi (x)$ определена при всех $x$, у которых существует плотность, монотонна (строго убывает или возрастает) и дифференцируема.

Тогда плотность распределения у функции НСВ $\eta =\phi (\xi )$ примет вид:

$$f_{\eta }(y)=f_{\xi }({\phi }^{-1}(y))\cdot |({\phi }^{-1}(y){)}^{\prime }|$$

Доказательство

По определению $\phi (x)=y$ (сопоставляем значения $\xi$ и получаем значения $\eta$)
$x={\phi }^{-1}(y)$ – обратная функция для $\phi (x)$

Найдём функцию распределения случайной величины $\eta$:

$${\mathcal{F}}_{\eta }(y)=P\{\eta <y\}=P\{\phi (\xi )<y\}=P\{\phi (\xi )<\phi (x)\}$$

• Для монотонно возрастающей функции
  Если $\phi (\xi )<\phi (x)$, то $\xi <x$ (значение меньше достигается при меньшем аргументе). Тогда:

$$P\{\phi (\xi )<\phi (x)\}=P\{\xi <{\phi }^{-1}(y)\}={\mathcal{F}}_{\xi }({\phi }^{-1}(y))$$

Теперь найдем плотность распределения случайной величины $\eta$:

$$f_{\eta }(y)=({\mathcal{F}}_{\eta }(y){)}^{\prime }=({\mathcal{F}}_{\xi }({\phi }^{-1}(y)){)}^{\prime }=f_{\xi }({\phi }^{-1}(y))\cdot ({\phi }^{-1}(y){)}^{\prime }$$

• Для монотонно убывающей функции
  Если $\phi (\xi )<\phi (x)$, то $\xi >x$ (значение меньше достигается при большем аргументе). Тогда:

$$P\{\phi (\xi )<\phi (x)\}=P\{\xi >{\phi }^{-1}(y)\}=1-P\{\xi <{\phi }^{-1}(y)\}=1-{\mathcal{F}}_{\xi }({\phi }^{-1}(y))$$

Теперь найдем плотность распределения случайной величины $\eta$:

$$f_{\eta }(y)=({\mathcal{F}}_{\eta }(y){)}^{\prime }=(-{\mathcal{F}}_{\xi }({\phi }^{-1}(y)){)}^{\prime }=-f_{\xi }({\phi }^{-1}(y))\cdot ({\phi }^{-1}(y){)}^{\prime }$$

Так как для убывающей функции производная обратной функции $({\phi }^{-1}(y){)}^{\prime }$ всегда отрицательна, второй случай в итоге даст положительное значение (плотность неотрицательна), поэтому мы можем объединить два случая в один с помощью модуля¹ :

$$f_{\eta }(y)=f_{\xi }({\phi }^{-1}(y))\cdot |({\phi }^{-1}(y){)}^{\prime }|$$

Следствие. Плотность распределения не монотонной функции

Если функция $\phi (x)$ не является монотонной, для нахождения плотности распределения её разбивают на несколько кусочков где функция монотонна, и суммируют их

$$f_{\eta }(y)=\sum _{i=1}^k{f}_{\xi }({\phi }_i^{-1}(y))\cdot |({\phi }_i^{-1}(y){)}^{\prime }|$$

Где ${\phi }_i^{-1}(y)$ – обратная функция на $i$-ом интервале монотонности.

Пример поиска функции случайной величины для не монотонной функции

Дано: $\xi \sim f_{\xi }(x)=e^{-x}\cdot {\mathbb{I}}_{\{x<0\}}(x)$².
Найти плотность распределения случайной величины $\eta =(\xi -1{)}^2$.

Решение

Функция преобразования: $\phi (x)=(x-1{)}^2$.

Функция немонотонна, разбиваем её на два интервала монотонности:

• Интервал $x>1$ (возрастание)
  $y=(x-1{)}^2⟹x-1=\sqrt{y}⟹x=1+\sqrt{y}$
  Обратная функция: ${\phi }_1^{-1}(y)=1+\sqrt{y}$.
  Производная: $({\phi }_1^{-1}(y){)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{y}}$.

• Интервал $x<1$ (убывание)

$$y=(x-1{)}^2⟹1-x=\sqrt{y}⟹x=1-\sqrt{y}$$

Обратная функция: ${\phi }_2^{-1}(y)=1-\sqrt{y}$.
Производная: $({\phi }_2^{-1}(y){)}^{\prime }=-\frac{1}{2\sqrt{y}}$.

По следствию из теоремы:

$$f_{\eta }(y)=f_{\xi }(1+\sqrt{y})\cdot \left|\frac{1}{2\sqrt{y}}\right|+f_{\xi }(1-\sqrt{y})\cdot \left|-\frac{1}{2\sqrt{y}}\right|$$

Подставляем значения в исходную плотность $f_{\xi }(x)=e^{-x}\cdot {\mathbb{I}}_{\{x<0\}}(x)$:

$$f_{\eta }(y)=e^{-(1+\sqrt{y})}\cdot {\mathbb{I}}_{\{1+\sqrt{y}>0\}}(y)\cdot \frac{1}{2\sqrt{y}}+e^{-(1-\sqrt{y})}\cdot {\mathbb{I}}_{\{1-\sqrt{y}>0\}}(y)\cdot \frac{1}{2\sqrt{y}}$$

Теперь необходимо упростить запись. Проанализируем индикаторы событий:

1. $1+\sqrt{y}>0$ выполняется при всех $y>0$.
2. $1-\sqrt{y}>0⟹\sqrt{y}<1⟹y\in [0,1]$.
   Итоговая плотность:

$$f_{\eta }(y)=\frac{e^{-(1+\sqrt{y})}}{2\sqrt{y}}\cdot {\mathbb{I}}_{\{y>0\}}(y)+\frac{e^{-(1-\sqrt{y})}}{2\sqrt{y}}\cdot {\mathbb{I}}_{\{y\in [0,1]\}}(y)$$

В классическом варианте записи

$$f_{\eta }(y)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2\sqrt{y}}\left(e^{-(1+\sqrt{y})}+e^{-(1-\sqrt{y})}\right),& y\in (0,1]\\ \frac{1}{2\sqrt{y}}{e}^{-(1+\sqrt{y})},& y>1\\ 0,& y\le 0\end{array}$$

Почему $0$ не включен

Точка ноль стала нестрогой, чтобы избежать деления на ноль. Вероятность от этого не поменяется из-за этого свойства

Footnotes

1. Для $A<0:-A=|A|$ ↩

2. Индикатор события ↩