Функции от случайного вектора

Функция от дискретного случайного вектора

Функция от дискретного случайного вектора

Функция от дискретного случайного вектора

$(\xi ,\eta )$ – дискретный случайный вектор
$(\xi ,\eta )\sim \{(x_i,y_j),p_{ij}\}$, где $p_{ij}=P\{\xi =x_i,\eta =y_j\}$.

Функция $\phi (x,y)$ задана $\forall (x_i,y_j)⟹$ функция $\Psi$ – новая дискретная случайная величина:

$$\Psi \sim \{\phi (x_i,y_j),p_{ij}\}$$

Замечание

Если на каких-то элементах значения $\phi$ совпадают, то соответствующие вероятности складываются.

Ссылка на оригинал

Пример поиска функции дискретного случайного вектора

Пример поиска функции дискретного случайного вектора

Поиск распределения функции от случайного вектора

Дано:
Таблица распределения случайного вектора $(\xi ,\eta )$:

$$\begin{array}{cccc}\xi \setminus \eta & -2& 0& 1\\ -1& 0,1& 0,2& 0,1\\ 1& 0,3& 0,1& 0,2\end{array}$$

Найти: распределение функции ДСВ $\Psi ={\xi }^2+\eta$.

Решение

$\phi (x,y)=x^2+y$

Промежуточная таблица значений функции $\phi (x,y)$:

$$\begin{array}{cccc}\xi \setminus \eta & -2& 0& 1\\ -1& (-1{)}^2-2=-1& (-1{)}^2+0=1& (-1{)}^2+1=2\\ 1& -1& 1& 2\end{array}$$

Сопоставление значений $\Psi$ и их вероятностей

• Для $\Psi =-1$: $0,1+0,3=0,4$

• Для $\Psi =1$: $0,2+0,1=0,3$

• Для $\Psi =2$: $0,1+0,2=0,3$

Ряд распределения случайной величины $\Psi$:

$$\Psi \sim \begin{array}{cccc}{z}_k& -1& 1& 2\\ p_k& 0,4& 0,3& 0,3\end{array}$$

Ссылка на оригинал

Функция от непрерывного случайного вектора

Функция от непрерывного случайного вектора

Функция от непрерывного случайного вектора

$(\xi ,\eta )$ – непрерывный случайный вектор
$(\xi ,\eta )\sim f_{(\xi ,\eta )}(x,y)$

Функция $\phi (x,y)$ задана в точках, где определена $f(x,y)⟹$ функция $\Psi$ – новая непрерывная случайная величина.

$${\mathcal{F}}_{\Psi }(t)=P\{\Psi <t\}=P\{\phi (\xi ,\eta )<t\}=\underset{\{\phi (x,y)<t\}}{\iint }f(x,y)dxdy$$

Ссылка на оригинал

Распределение суммы независимых случайных величин

Распределение суммы независимых случайных величин

Распределение суммы независимых случайных величин (свёртка)

Пусть функция НСВ $\Psi =\xi +\eta$
$\xi ,\eta$ – независимы
Тогда функцию распределения $\Psi$ можно представить как

$${\mathcal{F}}_{\Psi }(t)=\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}{\mathcal{F}}_{\eta }(t-x)d{\mathcal{F}}_{\xi }(x)=\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}{\mathcal{F}}_{\xi }(t-y)d{\mathcal{F}}_{\eta }(y)$$

Доказательство

$\xi ,\eta$ – независимы $⟹f_{(\xi ,\eta )}(x,y)=f_{\xi }(x)\cdot f_{\eta }(y)$.

Случайная величина $\Psi$ задается функцией $\phi (x,y)=x+y$

Запишем функцию распределения $\Psi$ :

$${\mathcal{F}}_{\Psi }(t)=\underset{\{x+y<t\}}{\iint }{f}_{\xi }(x)f_{\eta }(y)dxdy=\dots$$

Область задается неравенством $x+y<t⟹y<t-x$.

Transclude of Функция-от-непрерывного-случайного-вектора-2026-05-18-15.54.53.excalidraw

$$\cdots =\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}{f}_{\xi }(x)dx\underset{-\infty }{\overset{t-x}{\int }}{f}_{\eta }(y)dy=\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}{f}_{\xi }(x){\mathcal{F}}_{\eta }(t-x)dx=$$

Заметим, что по свойству $f_{\xi }(x)={\mathcal{F}}_{\xi }^{\prime }(x)=\frac{d{\mathcal{F}}_{\xi }(x)}{dx}⟹f_{\xi }(x)dx=d{\mathcal{F}}_{\xi }(x)$

$$=\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}{\mathcal{F}}_{\eta }(t-x)d{\mathcal{F}}_{\xi }(x)=\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}{\mathcal{F}}_{\xi }(t-y)d{\mathcal{F}}_{\eta }(y)$$

Следствие. Плотность суммы независимых случайных величин

$$f_{\Psi }(t)=\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}{f}_{\xi }(x)f_{\eta }(t-x)dx$$

Доказательство

По свойству плотности

$$\begin{array}{rl}& f_{\Psi }(t)={\mathcal{F}}_{\Psi }^{\prime }(t)=\frac{d}{dt}\left(\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}{\mathcal{F}}_{\eta }(t-x)d{\mathcal{F}}_{\xi }(x)\right)=\\ & =\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}{f}_{\eta }(t-x){\mathcal{F}}_{\xi }(x)=\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}{f}_{\xi }(x)f_{\eta }(t-x)dx\end{array}$$

Ссылка на оригинал

Пример поиска функции непрерывного случайного вектора

Пример поиска функции непрерывного случайного вектора

Функция от двумерной непрерывной случайной величины

Дана двумерная непрерывная случайная величина $(\xi ,\eta )$ с заданной плотностью распределения:

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}cx,& (x,y)\in D\\ 0,& (x,y)\notin D\end{array}$$

Требуется найти константу $c$, а также плотности и функции распределения для величин $\Psi =\xi +\eta$ и $\Psi =\xi \cdot \eta$.

а) Нахождение константы $c$

Используем свойство о равенстве двойного интеграла по всей области единице:

$$\underset{D}{\iint }f(x,y)dxdy=1$$ $$\begin{array}{rl}& \underset{0}{\overset{1}{\int }}dx\underset{0}{\overset{1-x}{\int }}cxdy=\underset{0}{\overset{1}{\int }}cx(1-x)dx=\\ & =c\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right){|}_0^1=c\cdot \frac{1}{6}=1⟹c=6\end{array}$$

б) Распределение суммы $\Psi =\xi +\eta$

По определению:

$${\mathcal{F}}_{\Psi }(t)=\underset{\{\phi (x,y)<t\}}{\iint }f(x,y)dxdy=\underset{\{x+y<t\}}{\iint }f(x,y)dxdy$$

Рассмотрим три возможных интервала для $t$:

1. При $t\le 0⟹{\mathcal{F}}_{\Psi }(t)=0$
2. При $t\in (0,1)$ область интегрирования отсекается прямой $y=t-x$:

$$\begin{array}{rl}& {\mathcal{F}}_{\Psi }(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}dx\underset{0}{\overset{t-x}{\int }}6xdy=\underset{0}{\overset{t}{\int }}6x(t-x)dx=\\ & =6\underset{0}{\overset{t}{\int }}(tx-x^2)dx=6\cdot \left(t\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right){|}_0^t=6\cdot \left(\frac{t^3}{2}-\frac{t^3}{3}\right)=t^3\end{array}$$

3. При $t\ge 1⟹{\mathcal{F}}_{\Psi }(t)=1$

Итоговые функция распределения и плотность:

$${\mathcal{F}}_{\Psi }(t)=\{\begin{array}{ll}0,& t\le 0\\ t^3,& t\in (0,1)\\ 1,& t\ge 1\end{array}$$ $$f_{\Psi }(t)={\mathcal{F}}_{\Psi }^{\prime }(t)=\{\begin{array}{ll}3t^2,& t\in (0,1)\\ 0,& t\notin (0,1)\end{array}$$

в) Распределение произведения $\Psi =\xi \cdot \eta$

По определению:

$${\mathcal{F}}_{\Psi }(t)=\underset{\{\phi (x,y)<t\}}{\iint }f(x,y)dxdy=\underset{\{x\cdot y<t\}}{\iint }f(x,y)dxdy$$

Граница области находится из уравнения гиперболы $x\cdot y=t$:

$$[\begin{array}{l}y<\frac{t}{x},x>0\\ y>\frac{t}{x},x<0\end{array}$$

Поиск точек пересечения границы области ($y=1-x$) и гиперболы:

$$\begin{array}{rl}& \frac{t}{x}=1-x⟹t=x-x^2⟹x^2-x+t=0\\ & D=1-4t\ge 0⟹t_{max}=\frac{1}{4}\\ & x_1=\frac{1+\sqrt{1-4t}}{2}\\ & x_2=\frac{1-\sqrt{1-4t}}{2}\end{array}$$

Вычисление функции распределения через дополнение (считаем оранжевую часть):

$$\begin{array}{rl}& {\mathcal{F}}_{\Psi }(t)=1-\underset{x_2}{\overset{x_1}{\int }}dx\underset{t/x}{\overset{1-x}{\int }}6xdy=1-6\underset{x_2}{\overset{x_1}{\int }}x\cdot \left(1-x-\frac{t}{x}\right)dx=\\ & =1-6\underset{x_2}{\overset{x_1}{\int }}(x-x^2-t)dx=1-(3x^2-2x^3-6tx){|}_{x_2}^{x_1}=\\ & =1-\left(3\cdot {\left(\frac{1+\sqrt{1-4t}}{2}\right)}^2-2\cdot {\left(\frac{1+\sqrt{1-4t}}{2}\right)}^3-6t\cdot \left(\frac{1+\sqrt{1-4t}}{2}\right)\right)+\\ & +\left(3\cdot {\left(\frac{1-\sqrt{1-4t}}{2}\right)}^2-2\cdot {\left(\frac{1-\sqrt{1-4t}}{2}\right)}^3-6t\cdot \left(\frac{1-\sqrt{1-4t}}{2}\right)\right)\end{array}$$

Для записи ответа обозначим огромное выражение за $K$

Итоговый вид функции распределения:

$${\mathcal{F}}_{\Psi }(t)=\{\begin{array}{ll}0,& t\le 0\\ K,& t\in \left(0,\frac{1}{4}\right)\\ 1,& t\ge \frac{1}{4}\end{array}$$

Ссылка на оригинал

---

Список использованных источников

Материал подготовлен на основе

1. Конспект лекций по ТВиМС от 08.04.2026. Лектор Литвинова В. В.
2. Бородин А. Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики : учебное пособие для вузов / А. Н. Бородин. — 10 е изд., стер. — Санкт Петербург : Лань, 2024. — 256 с. : ил. — Текст : непосредственный
3. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для вузов / В. Е. Гмурман. – 12-е изд. –Москва: Издательство Юрайт, 2024. – 479 с. – (Высшее образование)
4. Нейросеть NotebookLM только для оформления