Пример поиска функции непрерывного случайного вектора

Функция от двумерной непрерывной случайной величины

Дана двумерная непрерывная случайная величина $(\xi ,\eta )$ с заданной плотностью распределения:

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}cx,& (x,y)\in D\\ 0,& (x,y)\notin D\end{array}$$

Требуется найти константу $c$, а также плотности и функции распределения для величин $\Psi =\xi +\eta$ и $\Psi =\xi \cdot \eta$.

а) Нахождение константы $c$

Используем свойство о равенстве двойного интеграла по всей области единице:

$$\underset{D}{\iint }f(x,y)dxdy=1$$ $$\begin{array}{rl}& \underset{0}{\overset{1}{\int }}dx\underset{0}{\overset{1-x}{\int }}cxdy=\underset{0}{\overset{1}{\int }}cx(1-x)dx=\\ & =c\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right){|}_0^1=c\cdot \frac{1}{6}=1⟹c=6\end{array}$$

б) Распределение суммы $\Psi =\xi +\eta$

По определению:

$${\mathcal{F}}_{\Psi }(t)=\underset{\{\phi (x,y)<t\}}{\iint }f(x,y)dxdy=\underset{\{x+y<t\}}{\iint }f(x,y)dxdy$$

Рассмотрим три возможных интервала для $t$:

1. При $t\le 0⟹{\mathcal{F}}_{\Psi }(t)=0$
2. При $t\in (0,1)$ область интегрирования отсекается прямой $y=t-x$:

$$\begin{array}{rl}& {\mathcal{F}}_{\Psi }(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}dx\underset{0}{\overset{t-x}{\int }}6xdy=\underset{0}{\overset{t}{\int }}6x(t-x)dx=\\ & =6\underset{0}{\overset{t}{\int }}(tx-x^2)dx=6\cdot \left(t\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right){|}_0^t=6\cdot \left(\frac{t^3}{2}-\frac{t^3}{3}\right)=t^3\end{array}$$

3. При $t\ge 1⟹{\mathcal{F}}_{\Psi }(t)=1$

Итоговые функция распределения и плотность:

$${\mathcal{F}}_{\Psi }(t)=\{\begin{array}{ll}0,& t\le 0\\ t^3,& t\in (0,1)\\ 1,& t\ge 1\end{array}$$ $$f_{\Psi }(t)={\mathcal{F}}_{\Psi }^{\prime }(t)=\{\begin{array}{ll}3t^2,& t\in (0,1)\\ 0,& t\notin (0,1)\end{array}$$

в) Распределение произведения $\Psi =\xi \cdot \eta$

По определению:

$${\mathcal{F}}_{\Psi }(t)=\underset{\{\phi (x,y)<t\}}{\iint }f(x,y)dxdy=\underset{\{x\cdot y<t\}}{\iint }f(x,y)dxdy$$

Граница области находится из уравнения гиперболы $x\cdot y=t$:

$$[\begin{array}{l}y<\frac{t}{x},x>0\\ y>\frac{t}{x},x<0\end{array}$$

Поиск точек пересечения границы области ($y=1-x$) и гиперболы:

$$\begin{array}{rl}& \frac{t}{x}=1-x⟹t=x-x^2⟹x^2-x+t=0\\ & D=1-4t\ge 0⟹t_{max}=\frac{1}{4}\\ & x_1=\frac{1+\sqrt{1-4t}}{2}\\ & x_2=\frac{1-\sqrt{1-4t}}{2}\end{array}$$

Вычисление функции распределения через дополнение (считаем оранжевую часть):

$$\begin{array}{rl}& {\mathcal{F}}_{\Psi }(t)=1-\underset{x_2}{\overset{x_1}{\int }}dx\underset{t/x}{\overset{1-x}{\int }}6xdy=1-6\underset{x_2}{\overset{x_1}{\int }}x\cdot \left(1-x-\frac{t}{x}\right)dx=\\ & =1-6\underset{x_2}{\overset{x_1}{\int }}(x-x^2-t)dx=1-(3x^2-2x^3-6tx){|}_{x_2}^{x_1}=\\ & =1-\left(3\cdot {\left(\frac{1+\sqrt{1-4t}}{2}\right)}^2-2\cdot {\left(\frac{1+\sqrt{1-4t}}{2}\right)}^3-6t\cdot \left(\frac{1+\sqrt{1-4t}}{2}\right)\right)+\\ & +\left(3\cdot {\left(\frac{1-\sqrt{1-4t}}{2}\right)}^2-2\cdot {\left(\frac{1-\sqrt{1-4t}}{2}\right)}^3-6t\cdot \left(\frac{1-\sqrt{1-4t}}{2}\right)\right)\end{array}$$

Для записи ответа обозначим огромное выражение за $K$

Итоговый вид функции распределения:

$${\mathcal{F}}_{\Psi }(t)=\{\begin{array}{ll}0,& t\le 0\\ K,& t\in \left(0,\frac{1}{4}\right)\\ 1,& t\ge \frac{1}{4}\end{array}$$