6. Числовые характеристики случайной величины

Числовые характеристики

Математическое ожидание

Математическое ожидание

Видео

Подробнее изучить тему можно на youtube

Математическое ожидание

Пусть задано вероятностное пространство. Математическим ожидание для случайной величины $\xi$ называется число

$$E\xi ={\int }_{\Omega }\xi dP$$

Физический смысл

Показывает, какое в среднем значение принимает случайная величина при многократном повторении испытаний

Математическое ожидание для ДСВ

Сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их соответствующие вероятности:

$$E\xi =\sum _{i=1}^n{x}_i{p}_i$$

Математическое ожидание для НСВ

Определенный несобственный интеграл от произведения возможных значений $x$ на плотность распределения $f(x)$:

$$E\xi =\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}xf(x)dx$$

Ссылка на оригинал

Свойства математического ожидания

Свойства математического ожидания

Все свойства являются следствием из определения математического ожидания
1.

Математическое ожидание константы

$$Ec=c$$

Свойство аддитивности

$$E(\xi +\eta )=E\xi +E\eta$$

Свойство однородности

$$E(a\xi )=aE\xi$$

Свойство линейности

$$E(a\xi +b)=aE\xi +b$$

где $a,b$ – константы

Математическое ожидание произведения независимых СВ

$\xi ,\eta$ – независимы $⟹E(\xi \cdot \eta )=E\xi \cdot E\eta$

Ссылка на оригинал

Дисперсия

Дисперсия

Видео

Подробнее изучить тему можно на youtube

Дисперсия

Дисперсией случайной величины $\xi$ называется число равное математическому ожиданию квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания

$$Var\xi =E(\xi -E\xi {)}^2$$

Физический смысл

Дисперсия показывает меру отклонения $\xi$ от её мат. ожидания. Чем ниже дисперсия, тем меньше разброс значений случайной величины

Размерность

Имеет квадратичную размерность относительно случайной величины. То есть если СВ измеряется в метрах, то дисперсия в м${}^2$

Альтернативные обозначения

В отечественной литературе дисперсию принято обозначать как $D\xi$, обозначение $Var$ используется в зарубежной литературе и этом курсе.

Дисперсия ДСВ

$$Var\xi =\sum _{i=1}^n(x_i-E\xi {)}^2\cdot p_i$$

Дисперсия НСВ

$$Var\xi ={\int }_{-\infty }^{+\infty }(x-E\xi {)}^{2}f(x)dx$$

Ссылка на оригинал

Свойства дисперсии

Свойства дисперсии

Все свойства являются следствием из определения дисперсии
1.

Дисперсия константы

$$Var(c)=0$$

Альтернативная формула дисперсии

$$Var(\xi )=E{\xi }^2-(E\xi {)}^2$$

где
$E{\xi }^2={\int }_{-\infty }^{+\infty }{x}^2\cdot f(x)dx$ (для НСВ)
$E{\xi }^2={\sum }_{i=1}^n{x}_i^2\cdot p_i$ (для ДСВ)

Свойство квадратичной однородности

$$Var(a\xi )=a^2\cdot Var(\xi )$$

Свойство аддитивности для константы

$Var(\xi +a)=Var(\xi )$

Дисперсия суммы независимых СВ

Если $\xi$ и $\eta$ независимы $\Rightarrow Var(\xi +\eta )=Var(\xi )+Var(\eta )$

Ссылка на оригинал

Среднеквадратичное отклонение

Среднеквадратичное отклонение

Среднеквадратичное отклонение (СКО)

Квадратный корень из дисперсии:

$$\sigma (\xi )=\sqrt{Var(\xi )}$$

Зачем нужно?

Дисперсия измеряется в квадратных единицах. Извлекая корень мы получаем линейный разброс данных. Если отложить от математического ожидания влево и вправо СКО, то мы получим интервал ($E\xi -\sigma$; $E\xi +\sigma$), внутри которого сосредоточена основная масса наших данных с наибольшими вероятностями.

Ссылка на оригинал

Моменты случайной величины

Моменты случайной величины

Видео

Подробнее изучить тему можно на youtube

Начальный момент $k$-го порядка

Математическое ожидание $k$-ой степени случайной величины

$${\alpha }_k=E{\xi }^k$$

Центральный момент $k$-го порядка

Математическое ожидание $k$-ой степени отклонения случайной величины от ее математического ожидания

$${\mu }_k=E(\xi -E\xi {)}^k$$

Зачем нужны?

Далее вы увидите, что моменты упрощают поиск дисперсии
И с помощью них находятся коэффициент асимметрии и эксцесс

Ссылка на оригинал

Свойства моментов случайной величины

Свойства моментов случайной величины

Центральный момент 1-го порядка

$${\mu }_1=0$$

Доказательство

$$E(\xi -E\xi {)}^1=E\xi -E(E\xi )=E\xi -E\xi =0$$

Второй центральный момент через начальные моменты

$${\mu }_2={\alpha }_2-{\alpha }_1^2$$

Дисперсия

Центральный момент $2$-го порядка является дисперсией. Это свойство является альтернативной формулой для дисперсии

Доказательство

$$E(\xi -E\xi {)}^2=var\xi =E{\xi }^2-(E\xi {)}^2={\alpha }_2-{\alpha }_1^2$$

Третий центральный момент через начальные моменты

$${\mu }_3={\alpha }_3-3{\alpha }_1{\alpha }_2+2{\alpha }_1^3$$

Доказательство

$$\begin{array}{rl}& E(\xi -E\xi {)}^3=E({\xi }^3-3{\xi }^2\cdot E\xi +3\xi (E\xi {)}^2-(E\xi {)}^3)=E{\xi }^3-3\cdot {\alpha }_1\cdot E{\xi }^2+3{\alpha }_1^2\cdot E\xi -{\alpha }_1^3=\\ & ={\alpha }_3-3{\alpha }_1{\alpha }_2+3{\alpha }_1^3-{\alpha }_1^3={\alpha }_3-3{\alpha }_1{\alpha }_2+2{\alpha }_1^3\end{array}$$

Четвертый центральный момент через начальные моменты

$${\mu }_4={\alpha }_4-4{\alpha }_1{\alpha }_3+6{\alpha }_2{\alpha }_1^2-3{\alpha }_1^4$$

Доказательство

$$\begin{array}{rl}& E(\xi -E\xi {)}^4=E({\xi }^4-4{\xi }^3\cdot E\xi +6{\xi }^2(E\xi {)}^2-4\xi \cdot (E\xi {)}^3+(E\xi {)}^4)=\\ & =E{\xi }^4-4{\alpha }_{1}E{\xi }^3+6{\alpha }_1^2\cdot E{\xi }^2-4{\alpha }_1^3\cdot E\xi +{\alpha }_1^4=\\ & ={\alpha }_4-4{\alpha }_1{\alpha }_3+6{\alpha }_1^2{\alpha }_2-4{\alpha }_1^4+{\alpha }_1^4={\alpha }_4-4{\alpha }_1{\alpha }_3+6{\alpha }_2{\alpha }_1^2-3{\alpha }_1^4\end{array}$$

Ссылка на оригинал

Коэффициент асимметрии случайной величины

Коэффициент асимметрии случайной величины

Коэффициент асимметрии случайной величины

Отношение центрального момента третьего порядка к среднему квадратическому отклонению в третьей степени

$$A_s=\frac{{\mu }_3}{{\sigma }^3}$$

Характеризует «скошенность» распределения по отношению к математическому ожиданию
$A_s=0$ – распределение симметрично;
$A_s<0$ – распределение «скошенно» влево;
$A_s>0$ – распределение «скошенно» вправо;

Ссылка на оригинал

Эксцесс

Эксцесс

Эксцесс

Отношение центрального момента четвертого порядка к четвертой степени среднего квадратического отклонения минус $3$ (вычитаем чтобы у нормального распределения он был равен нулю)

$$E_s=\frac{{\mu }_4}{{\sigma }^4}-3$$

Характеризует «сглаженность» распределения по отношению к нормальному распределению.
$E_s=0$ – для нормального распределения
$E_s<0$ – для более пологих распределений
$E_s>0$ – для островершинных распределений

Нормальное распределение

Определение нормального распределения дано в теме «распределения случайных величин»

Ссылка на оригинал

Мода случайной величины

Мода случайной величины

Мода

Наиболее вероятное значение $M_0$ случайной величины

Сколько мод может быть

Мода не обязательна единственна. Если она одна то распределение называется унимодальным, если несколько – мультимодальным. На практике стараются брать унимодальное распределение для точности.

Ссылка на оригинал

Медиана случайной величины

Медиана случайной величины

Медиана

Значение $M_e$ случайной величины $\xi$ при котором $P\{\xi <M_e\}=P\{\xi \ge M_e\}=\frac{1}{2}$
Функция распределения ${\mathcal{F}}_{\xi }(M_e)=\frac{1}{2}$

Ссылка на оригинал

Квантиль случайно величины

Квантиль случайной величины

Квантиль уровня $\alpha$

Называется число $x_{\alpha }$ ($\alpha \in (0,1)$) случайной величины $\xi$, такое что

1. $P\{\xi \le x_{\alpha }\}\ge \alpha$

2. $P\{\xi \ge x_{\alpha }\}\le 1-\alpha$

Квантиль непрерывной величины

Для НСВ ${\mathcal{F}}_{\xi }(x_{\alpha })=\alpha$

Ссылка на оригинал