3. Испытание Бернулли (25.02.26)

Испытание Бернулли

Испытание Бернулли

Схема испытаний Бернулли

Это последовательность из $n$ независимых испытаний, в каждом из которых возможно только два исхода, а их вероятности остаются постоянными и не зависят от номера испытания:

• Событие $A$ (успех) – наступает с вероятностью $P(A)=p$.

• Противоположное событие $\bar{A}$ (неуспех) – наступает с вероятностью $P(\bar{A})=q=1-p$.

• $n$ – общее количество проведенных испытаний.

Ссылка на оригинал

Теорема Формула Бернулли

Теорема. Формула Бернулли

Формула Бернулли

Имеется испытание Бернулли $⟹$ вероятность того, что в $n$ испытаниях успехов ровно $m$:

$$P_n(m)=C_n^m{p}^m{q}^{n-m}$$

Док-во

$A_i$ – произошел успех в $i$-м испытании
Фиксируем $m$ успехов
По определению события независимы, так что удобно применить теорему умножения вероятностей для независимых событий:

$$\begin{array}{lc}& P(A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_m\cap {\overline{A}}_{m+1}\cap \cdots \cap {\overline{A}}_n)=\\ & =P(A_1)\cdot P(A_2)\dots P(A_m)\dots P({\overline{A}}_{m+1})\dots P({\overline{A}}_n)=\\ & =\underset{m}{\underbrace{p\dots p}}\cdot \underset{n-m}{\underbrace{q\dots q}}=p^m{q}^{n-m}\end{array}$$

Это только один случай (все первые $m$ событий успешные, а последующие нет). А нам нужно найти все способы расставить $m$ успехов по $n$ местам без учёта порядка, а это определение числа сочетаний, то есть $C_n^m$.

Все эти комбинации – несовместные события. Следовательно, мы можем сложить $C_n^m$ способов и получить требуемое.

Пример 1

$n=10$ испытаний с подбросом монеты. Какой шанс выбить орёл?

Решение

• $n=10$
• $A\text{ - выпал орел}$
• $\overline{A}\text{ - выпал орел}$
• $p=P(A)=\frac{1}{2}$
• $q=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
  $P_{10}(5)=C_{10}^5\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^5\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^5=\frac{6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}\cdot \frac{1}{2^{10}}=\frac{63}{256}$

Пример 2

В семье $5$ детей найти вероятность того что это $2$ девочки и $3$ мальчика

Решение

• $P(\text{дев})=P(\text{мал})=\frac{1}{2}$
• $n=5$
• $A\text{ - родилась дочь}$
• $\overline{A}\text{ - рождение мальчика}$

$P_5(2)=C_5^2\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{4\cdot 5}{2}\cdot \frac{1}{32}=\frac{5}{16}$

$P_5(3)=C_5^3\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^3\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{5}{16}$

Ссылка на оригинал

Локальная теорема Муавра-Лапласа

Функция Гаусса

Функция Гаусса

Определение

Функцией Гаусса называется
$\phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}$

Свойства

1. Функция четная $\phi (-x)=\phi (x)$
2. $\phi (x)\approx 0$ при $x>4,5$
3. ${\int }_{-\infty }^{+\infty }\phi (x)dx=1$

На графике ось ординат имеет максимум в точке $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$:

Ссылка на оригинал

Теорема Муавра-Лапласа (локальная)

Теорема Муавра-Лапласа (локальная)

Локальная теорема Муавра-Лапласа

Имеется испытание Бернулли; $n\to \infty ,p\in (0;1)$
Тогда вероятность того, что в $n$ испытаниях успехов ровно $m$:

$$P_n(m)\approx \frac{1}{\sqrt{npq}}\cdot \phi \left(\frac{m-np}{\sqrt{npq}}\right)$$

где $\phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}$ – функция Гаусса

Доказательство на youtube

Пример

• $n=100$
• $m=50$
• $p=q=\frac{1}{2}$
  $P_{100}(50)\approx \frac{1}{\sqrt{100\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}}\cdot \phi \left(\frac{50-100\cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{100\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}}\right)=\frac{1}{5}\cdot \phi (0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\cdot 5}\approx 0,08$

Ссылка на оригинал

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Функция Лапласа

Функция Лапласа

Определение

Функцией Лапласа называется:

$${\Phi }_0(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_0^x{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt$$

Свойства

1. Функция нечетная ${\Phi }_0(-x)=-{\Phi }_0(x)$
2. ${\Phi }_0(+\infty )=\frac{1}{2}$
3. ${\Phi }_0(x)\approx 0,5$ при $x>5$

Замечание Значения ${\Phi }_0(x)$ берутся из таблицы

График функции с горизонтальными асимптотами на уровнях $\frac{1}{2}$ и $-\frac{1}{2}$

Ссылка на оригинал

Теорема Муавра-Лапласа (интегральная)

Теорема Муавра-Лапласа (интегральная)

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Имеется испытание Бернулли, $n\to \infty ,p\in (0;1)$
Тогда вероятность того, что в $n$ испытаниях число успехов окажется в заданном диапазоне – от $m_1$ до $m_2$:​

$$P_n(m_1\le m\le m_2)\approx {\Phi }_0\left(\frac{m_2-np}{\sqrt{npq}}\right)-{\Phi }_0\left(\frac{m_1-np}{\sqrt{npq}}\right)$$

где ${\Phi }_0(x)$ – Функция Лапласа

Доказательство на youtube

Пример

В парк высадили $100$ деревьев. Вероятность прижиться для каждого из них равна $0,8$. Найти $P$ того, что приживется не менее $80$ деревьев.

Решение

• $n=100$
• $p=0,8$
• $q=0,2$
• Диапазон $80\le m\le 100$, где $m_1=80$, $m_2=100$

$$\begin{array}{lc}& P_{100}(80\le m\le 100)\approx {\Phi }_0\left(\frac{100-100\cdot 0,8}{\sqrt{100\cdot 0,8\cdot 0,2}}\right)-{\Phi }_0\left(\frac{80-100\cdot 0,8}{\sqrt{100\cdot 0,8\cdot 0,2}}\right)=\\ & ={\Phi }_0(5)-{\Phi }_0(0)\approx 0,5-0=0,5\end{array}$$

Ссылка на оригинал

Теорема. Асимптотическая формула Пуассона

Теорема. Асимптотическая формула Пуассона

Формула Пуассона

Имеется испытание Бернулли, $n\to \infty ,p\to 0$, $np=\lambda \in [1;15]$
Тогда вероятность того, что в $n$ испытаниях успехов ровно $m$:

$$P_n(m)\approx \frac{{\lambda }^m}{m!}{e}^{-\lambda }$$

Замечание

Формула решает ту же задачу, что и формула Бернулли, но она применяется для массовых и редких событий

Доказательство

$\lambda =np⟹p=\frac{\lambda }{n}⟹q=1-\frac{\lambda }{n}$
Распишем формулу Бернулли и раскроем в ней число сочетаний

$$\begin{array}{lc}& P_n(m)=C_n^m\cdot p^m{q}^{n-m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}\cdot {\left(\frac{\lambda }{n}\right)}^m\cdot {\left(1-\frac{\lambda }{n}\right)}^{n-m}=\\ & =\frac{{\lambda }^m}{m!}\cdot \frac{(n-m+1)\dots n}{n^m}\cdot {\left(1-\frac{\lambda }{n}\right)}^{n-m}\end{array}$$

Далее рассмотрим последовательность из $m$ элементов в числителе $(n-m+1),(n-m+2),\dots (n-1),n$.
У нас есть $n^m$, то есть $m$ $n$–ок. Разделим каждую скобку из числителя на $n$.
Также разделим ${\left(1-\frac{\lambda }{n}\right)}^{n-m}$ по свойству степеней.

$$\frac{{\lambda }^m}{m!}\left(1-\frac{m-1}{n}\right)\left(1-\frac{m-2}{n}\right)\dots \left(1-\frac{1}{n}\right)\cdot 1\cdot {\left(1-\frac{\lambda }{n}\right)}^n\cdot {\left(1-\frac{\lambda }{n}\right)}^{-m}$$

Заметим, что почти все элементы последовательности стремятся к $1$, кроме ${\left(1-\frac{\lambda }{n}\right)}^n$ для неё мы можем применить второй замечательный предел

$$\frac{{\lambda }^m}{m!}\underset{\to 1}{\underbrace{\left(1-\frac{m-1}{n}\right)}}\underset{\to 1}{\underbrace{\left(1-\frac{m-2}{n}\right)}}\dots \underset{\to 1}{\underbrace{\left(1-\frac{1}{n}\right)}}\cdot \underset{\to e^{-\lambda }}{\underbrace{{\left(1-\frac{\lambda }{n}\right)}^n}}\cdot \underset{\to 1}{\underbrace{{\left(1-\frac{\lambda }{n}\right)}^{-m}}}\underset{n\to \infty }{\to }\frac{{\lambda }^m}{m!}{e}^{-\lambda }$$

Теорема доказана

Пример

В книге $1000$ страниц. Вероятность опечатки на $1$ странице равна $0,003$. Найти $P$ того, что в книге будет не меньше $2$ опечаток.

Решение

• $n=1000$
• успех $A$ – «опечатка»
• $p=0,003$
• $m\ge 2$

Выразим искомое событие через вероятность противоположного события, что ошибок меньше $2$

$$P_{1000}(m\ge 2)=1-P_{1000}(m<2)=1-P_{1000}(0)-P_{1000}(1)\approx 1-\frac{3^0}{0!}{e}^{-3}-\frac{3^1}{1!}{e}^{-3}\approx 0,801$$

Ссылка на оригинал

Наивероятнейшее число успехов

Наивероятнейшее число успехов

Наивероятнейшее число успехов

Число успехов $m^{\ast }$, которому при заданном $n$ соответствует максимальная вероятность $P_n(m^{\ast })$, называется наивероятнейшим числом успехов в испытаниях Бернулли.

Ссылка на оригинал