Теорема Муавра-Лапласа (интегральная)

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Имеется испытание Бернулли, $n\to \infty ,p\in (0;1)$
Тогда вероятность того, что в $n$ испытаниях число успехов окажется в заданном диапазоне – от $m_1$ до $m_2$:​

$$P_n(m_1\le m\le m_2)\approx {\Phi }_0\left(\frac{m_2-np}{\sqrt{npq}}\right)-{\Phi }_0\left(\frac{m_1-np}{\sqrt{npq}}\right)$$

где ${\Phi }_0(x)$ – Функция Лапласа

Доказательство на youtube

Пример

В парк высадили $100$ деревьев. Вероятность прижиться для каждого из них равна $0,8$. Найти $P$ того, что приживется не менее $80$ деревьев.

Решение

• $n=100$
• $p=0,8$
• $q=0,2$
• Диапазон $80\le m\le 100$, где $m_1=80$, $m_2=100$

$$\begin{array}{lc}& P_{100}(80\le m\le 100)\approx {\Phi }_0\left(\frac{100-100\cdot 0,8}{\sqrt{100\cdot 0,8\cdot 0,2}}\right)-{\Phi }_0\left(\frac{80-100\cdot 0,8}{\sqrt{100\cdot 0,8\cdot 0,2}}\right)=\\ & ={\Phi }_0(5)-{\Phi }_0(0)\approx 0,5-0=0,5\end{array}$$