Теорема Муавра-Лапласа (локальная)

Локальная теорема Муавра-Лапласа

Имеется испытание Бернулли; $n\to \infty ,p\in (0;1)$
Тогда вероятность того, что в $n$ испытаниях успехов ровно $m$:

$$P_n(m)\approx \frac{1}{\sqrt{npq}}\cdot \phi \left(\frac{m-np}{\sqrt{npq}}\right)$$

где $\phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}$ – функция Гаусса

Доказательство на youtube

Пример

• $n=100$
• $m=50$
• $p=q=\frac{1}{2}$
  $P_{100}(50)\approx \frac{1}{\sqrt{100\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}}\cdot \phi \left(\frac{50-100\cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{100\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}}\right)=\frac{1}{5}\cdot \phi (0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\cdot 5}\approx 0,08$