1. События. Вероятность

Виды событий и операции над ними

Элементарный исход

0-Элементарный исход

Определение элементарного исхода

$\omega$ – самый простой, неделимый результат испытания (опыта)

Ссылка на оригинал

Пространство элементарных исходов

1-Пространство элементарных исходов

Пространство (множество) элементарных исходов (событий)

Пространство элементарных исходов (событий) – это множество всех взаимно исключающих элементарных исходов случайного эксперимента.
Обозначение: $\Omega$

Что значит «взаимно исключающие»

В результате одного испытания может наступить только один конкретный исход, они ни при каких условиях не могут произойти одновременно

Примеры из книги А. Н. БОРОДИНА

Бросание монеты. Если мы предполагаем, что монета тонкая и не может встать на ребро, то у нас есть только два возможных исхода: выпал орёл (О) или выпала решка (Р). Они не могут выпасть одновременно. Значит, пространство элементарных событий запишется так: $\Omega =\{\text{О},\text{Р}\}$.

Бросание игральной кости. Если нас интересует цифра на верхней грани кубика, то возможными исходами будут числа от 1 до 6. Пространство элементарных событий в этом случае примет вид: $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$.

Ссылка на оригинал

Событие

2-Событие

Определение события

Пусть $\Omega$ – пространство элементарных исходов
Событие $A$ – это подмножество $\Omega$.

Элементарное событие

Поскольку событие это подмножество, то оно может состоять из одного элемента. В этом случае событие называется элементарным и является синонимом элементарного исхода

Ссылка на оригинал

Виды событий

3-Достоверное событие

Достоверное событие

Событие $\Omega$, которое обязательно происходит в результате испытания

Двойственность $\Omega$

$\Omega$ – обозначает пространство элементарных исходов, которое в рамках алгебры событий (см. далее) выступает как достоверное событие

Ссылка на оригинал

4-Невозможное событие

Невозможное событие

$\varnothing$ – событие, которое не происходит при любом условии

Ссылка на оригинал

5-Составное событие

Составное событие

Это событие, которое подразделяется на несколько элементарных событий

Ссылка на оригинал

6-Случайное событие

Случайное событие

Это событие, которое при осуществлении определенной совокупности условий S может либо произойти, либо не произойти

Ссылка на оригинал

7-Благоприятствующие исходы

Благоприятствующие исходы

Элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает. Если событие $A$ – это подмножество $\Omega$ ¹ , то элементы (исходы) этого подмножества являются благоприятствующими событию $A$

Footnotes

1. Достоверное событие ↩

Ссылка на оригинал

8-Противоположное событие

Противоположное событие

$\bar{A}=\Omega$ ¹ $\setminus A$ – событие, которое наступает если событие $A$ не произошло

Footnotes

1. Достоверное событие ↩

Ссылка на оригинал

Операции над событиями

9-Объединение событий

Объединение

$A\cup B(A+B)$ – событие, которое происходит, если произошло событие $A$ или $B$

Например, если из орудия произведены два выстрела и $А$ – попадание при первом выстреле, $В$ – попадание при втором выстреле, то $A+B$ – попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих выстрелах.

Ссылка на оригинал

10-Пересечение событий

Пересечение

$A\cap B(A\cdot B)$ – событие, которое наступает, если произошли события и $A$, и $B$
Например, если $А$ – деталь годная, $B$ – деталь окрашенная, то $AB$ – деталь годна и окрашена

Ссылка на оригинал

11-Вычитание событий

Вычитание

$A\setminus B(A-B)$ – событие, которое наступает, если произошло $A$, но не $B$

Ссылка на оригинал

Несовместное событие

12-Несовместные события

Несовместные события

$A$ и $B$ несовместные события – если не происходят одновременно $(A\cap B)$ ¹ = $\varnothing$ ²

Footnotes

1. Объединение событий ↩

2. Невозможное событие ↩

Ссылка на оригинал

Свойства операций над событиями

13-Свойства операций над событиями

Коммутативность объединения событий

$A\cup B=B\cup A$

Ассоциативность объединения событий

$A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C$

Коммутативность пересечения событий

$A\cap B=B\cap A$

Ассоциативность пересечения событий

$A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$

Дистрибутивность пересечения относительно объединения

$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$

Идемпотентность объединения событий

$A\cup A=A$

Идемпотентность пересечения событий

$A\cap A=A$

Свойство объединения с невозможным событием

$A\cup \varnothing =A$

Свойство пересечения с невозможным событием

$A\cap \varnothing =\varnothing$

Свойство объединения с противоположным событием

$A\cup \bar{A}=\Omega$

Свойство пересечения с противоположным событием

$A\cap \bar{A}=\varnothing$

Свойство объединения с достоверным событием

$A\cup \Omega =\Omega$

Свойство пересечения с достоверным событием

$A\cap \Omega =A$

Закон де Моргана для объединения событий

$\overline{A\cup B}=\bar{A}\cap \bar{B}$

Законы де Моргана для пересечения событий

$\overline{A\cap B}=\bar{A}\cup \bar{B}$

Ссылка на оригинал

Алгебра событий

14-Алгебра событий

Алгебра событий

$\mathcal{A}$ – алгебра событий – если:

• $\Omega$ ¹ $\in \mathcal{A}$

• Если событие $A\in \mathcal{A}\Rightarrow \bar{A}\in \mathcal{A}$

• Если $A,B\in \mathcal{A}\Rightarrow A\cup B$ ² $\in \mathcal{A}$

• Если $A_1,...,A_n\in \mathcal{A}\Rightarrow {\bigcup }_{i=1}^n{A}_i\in \mathcal{A}$

Следствия из определения

Свойство 1

$\varnothing \in \mathcal{A},\varnothing =\bar{\Omega }\in \mathcal{A}$

Свойство 2

$A\cap B$ ³ $\in \mathcal{A}$

Доказательство $\begin{array}{l}A\in \mathcal{A}\Rightarrow \bar{A}\in \mathcal{A}\\ B\in \mathcal{A}\Rightarrow \bar{B}\in \mathcal{A}\end{array}|\Rightarrow \bar{A}\cup \bar{B}\in \mathcal{A}\Rightarrow \underset{A\cap B}{\underbrace{\overline{\bar{A}\cup \bar{B}}}}\in \mathcal{A}$

Свойство 3

$A\setminus$ ⁴ $B\in \mathcal{A}$

Доказательство

$\begin{array}{l}A\in \mathcal{A}\\ B\in \mathcal{A}\Rightarrow \bar{B}\in \mathcal{A}\end{array}|\Rightarrow \underset{A\backslash B}{\underbrace{A\cap \bar{B}}}\in \mathcal{A}$

Footnotes

1. Достоверное событие ↩

2. Объединение событий ↩

3. Пересечение событий ↩

4. Вычитание событий ↩

Ссылка на оригинал

---

Вероятность

Классическое определения вероятности

1-Классическое определения вероятности

Определение

Пусть $\Omega$ $=\{{\omega }_1,...,{\omega }_n\}$, $\omega$ – элементарный исход
Событие $A$ – благоприятствует $\{{\omega }_{i_1},...,{\omega }_{i_m}\}$, то есть является всеми интересующими нас исходами

Тогда для вероятности $P$ верно:

$$P(A)=\frac{m}{n}$$

где $m=|A|$¹ – количество благоприятсвующих исходов, $n=|\Omega |$ ¹ – количество всех исходов

• $0\le P(A)\le 1$

• $P(\varnothing$ ² $)=0$

• $P(\Omega$ ³ $)=1$

• $A,B$ – несовместные $\Rightarrow P(A\cup B)$ ⁴ $=P(A)+P(B)$

• $P(\bar{B}$ ⁵ $)=1-P(B)$

Ограниченность определения

Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов испытания конечно. На практике же весьма часто встречаются испытания, число возможных исходов которых бесконечно. В таких случаях классическое определение не применимо.

Footnotes

1. $|A|$ – Мощность множества ↩ ↩²

2. Невозможное событие ↩

3. Достоверное событие ↩

4. Объединение событий ↩

5. Противоположное событие ↩

Ссылка на оригинал

Геометрическая вероятность

2-Геометрическая вероятность

Зачем вводить геометрическую вероятность?

Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности

Геометрическая вероятность

Пусть $\Omega$ – область (отрезок, часть плоскости, часть шара и тд.) с мерой ($mes\Omega$). Событие $A\subset \Omega$
Тогда для геометрической вероятности $P$ верно:

$$P(A)=\frac{mesA}{mes\Omega }$$

Вероятность для различных областей

• Для линии $R^1$

$$P(A)=\frac{l_A}{l_{\Omega }}$$

• Для плоскости$R^2$

$$P(A)=\frac{S_A}{S_{\Omega }}$$

• Для объемной области: $R^3$

$$P(A)=\frac{V_A}{V_{\Omega }}$$

Задача

Два числа $x$ и $y$ наудачу выбираются из отрезка $[0,1]$. Найти вероятность того, что их произведение будет меньше $\frac{1}{2}$

Решение

$\begin{array}{l}x\in [0;1]\\ y\in [0;1]\end{array}|\Rightarrow (x,y)\in [0;1]\times [0;1],P(A)=\frac{S_A}{S_{\Omega }}{S}_{\Omega }=1$
Пойдем от противного и найдем вероятность что произведение будет больше или равно (красная область на рисунке)
Площадь этой области (она же и вероятность попасть в неё из-за $S_{\Omega }=1$ ):

$$\begin{array}{l}P\left(x\cdot y>\frac{1}{2}\right)\\ y>\frac{1}{2x}\end{array}|S=\frac{1}{2}-\underset{1/2}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{2x}dx=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\ln 2$$

Вероятность, что произведение будет меньше это противоположное событие:

$$P\left(x\cdot y<\frac{1}{2}\right)=1-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\ln 2\right)=\frac{1+\ln 2}{2}$$

Ссылка на оригинал

Статистическая вероятность

3-Статистическая вероятность

Зачем вводить статистическую вероятность?

Наиболее слабая сторона классического определения состоит в том, что очень часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий. Еще труднее указать основания, позволяющие считать элементарные события равновозможными. Поэтому можно использовать определения статистической вероятности

Статистическая вероятность

В качестве статистической вероятности события принимают его относительную частоту при большом числе испытаний, когда эта частота колеблется около постоянного числа:

$$P(A)\approx \nu (A)=\frac{m_A}{n}(\text{при }n\to \infty )$$

• $n$ – количество экспериментов

• $m$ – количество экспериментов, в которых произошло событие $A$

Неоднозначность статистической вероятности

Недостатком статистического определения является неоднозначность статистической вероятности. В одном опыте она может быть определена как $0,7$, а в другом как $0,69$

Ссылка на оригинал

Вероятностная мера

4-Вероятностная мера

Вероятностная мера

Рассмотрим $(\Omega ,\mathcal{A}$¹ $)$. Вероятностью (вероятностной мерой) события $A\in \mathcal{A}$ называется числовая функция $P$, которая удовлетворяет 3 аксиомам:

• $P(A)\ge 0$
• $P(\Omega$ ²$)=1$
• $A_1,A_2\dots$ – несовместные $\Rightarrow P({\bigcup }_{i=1}^{\infty }{A}_i)={\sum }_{i=1}^{\infty }P(A_i)$

Footnotes

1. Алгебра событий ↩

2. Достоверное событие ↩

Ссылка на оригинал

Вероятностное пространство

5-Вероятностное пространство

Вероятностное пространство

Математическая модель случайного эксперимента задается упорядоченной тройкой
$(\Omega$ ¹$,\mathcal{A}$ ² $,P$³$)$, которая называется вероятностным пространством.

Footnotes

1. Пространство элементарных исходов ↩

2. Алгебра событий ↩

3. Вероятностная мера ↩

Ссылка на оригинал

Свойства вероятностного пространства

6-Свойства вероятностного пространства

Все свойства являются следствиями из определения вероятностного пространства
1.

Свойство 1

$P(\varnothing$ ¹$)=0$

Свойство 2

$\Omega$²$,\varnothing$ – несовместные так как $\Omega =\Omega \cup \varnothing$

Свойство 3

$P(\Omega$ ²$)=P(\Omega \cup \varnothing$¹$)=P(\Omega )+P(\varnothing )$

Свойство 4

$A\subset B\Rightarrow P(A)\le P(B)$

Свойство 5. Сумма несовместных событий

$A,B$ – несовместные $\Rightarrow P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

Свойство 6. Сумма событий

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

Свойство 7. Вероятность противоположного события

$P(\bar{A})=1-P(A)$

Footnotes

1. Невозможное событие ↩ ↩²

2. Достоверное событие ↩ ↩²

Ссылка на оригинал

---

Список использованных источников

Материал подготовлен на основе

1. Конспект лекций по ТВиМС от 11.02.2026. Лектор Литвинова В. В.
2. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для вузов / В. Е. Гмурман. – 12-е изд – Москва: Издательство Юрайт, 2024. – 479 с. – (Высшее образование)
3. Нейросеть NotebookLM только для оформления