2-Геометрическая вероятность

Зачем вводить геометрическую вероятность?

Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности

Геометрическая вероятность

Пусть $\Omega$ – область (отрезок, часть плоскости, часть шара и тд.) с мерой ($mes\Omega$). Событие $A\subset \Omega$
Тогда для геометрической вероятности $P$ верно:

$$P(A)=\frac{mesA}{mes\Omega }$$

Вероятность для различных областей

• Для линии $R^1$

$$P(A)=\frac{l_A}{l_{\Omega }}$$

• Для плоскости$R^2$

$$P(A)=\frac{S_A}{S_{\Omega }}$$

• Для объемной области: $R^3$

$$P(A)=\frac{V_A}{V_{\Omega }}$$

Задача

Два числа $x$ и $y$ наудачу выбираются из отрезка $[0,1]$. Найти вероятность того, что их произведение будет меньше $\frac{1}{2}$

Решение

$\begin{array}{l}x\in [0;1]\\ y\in [0;1]\end{array}|\Rightarrow (x,y)\in [0;1]\times [0;1],P(A)=\frac{S_A}{S_{\Omega }}{S}_{\Omega }=1$
Пойдем от противного и найдем вероятность что произведение будет больше или равно (красная область на рисунке)
Площадь этой области (она же и вероятность попасть в неё из-за $S_{\Omega }=1$ ):

$$\begin{array}{l}P\left(x\cdot y>\frac{1}{2}\right)\\ y>\frac{1}{2x}\end{array}|S=\frac{1}{2}-\underset{1/2}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{2x}dx=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\ln 2$$

Вероятность, что произведение будет меньше это противоположное событие:

$$P\left(x\cdot y<\frac{1}{2}\right)=1-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\ln 2\right)=\frac{1+\ln 2}{2}$$