Центральная предельная теорема

Видео

Более подробно тема есть в видео на YouTube

Центральная предельная теорема

Пусть ${\xi }_1,\dots ,{\xi }_n,\dots$ – последовательность независимых случайных величин, для которых $a_i$ и ${\sigma }_i$ конечны:

$$E{\xi }_i=a_i,Var{\xi }_i={\sigma }_i^2$$

Тогда центрированная ¹ и нормированная ² сумма сходится по распределению ( $\stackrel{d}{\to }$ ) к стандартному нормальному закону $N(0;1)$:

$$\frac{{\sum }_{i=1}^n{\xi }_i-{\sum }_{i=1}^n{a}_i}{\sqrt{{\sum }_{i=1}^n{\sigma }_i^2}}\stackrel{d}{\to }N(0;1)$$

Функция распределения $\eta$ будет стремиться к стандартной функции:

$${\mathcal{F}}_{\eta }(x)\underset{n\to \infty }{\to }\Phi (x)$$

Без доказательства

Следствие. Аппроксимация суммы

$$\sum _{i=1}^n{\xi }_i\approx N\left(\sum _{i=1}^n{a}_i;\sum _{i=1}^n{\sigma }_i^2\right)$$

В чём практический смысл?

Теорема позволяет вычислять вероятности для суммы большого числа случайных величин, заменяя их сложный закон распределения на удобный нормальный закон

Footnotes

1. C вычтенным Математическим ожиданием ↩

2. Разделённая на СКО ↩