Неравенство Чебышёва

Неравенство Чебышёва

Для $\forall \epsilon >0$ и $\forall$ случайной величины $\xi$, имеющей конечную дисперсию $Var\xi <c$ (где $c$ — константа), справедливо соотношение:

$$P\{|\xi -E\xi |>\epsilon \}\le \frac{Var\xi }{{\epsilon }^2}$$

Доказательство

Рассмотрим новую случайную величину $\eta =\xi -E\xi$.

Применим к ней следствие из неравенства Маркова (для $k=2$):

$$P\{|\eta |>\epsilon \}\le \frac{E|\eta {|}^2}{{\epsilon }^2}=\frac{E{\eta }^2}{{\epsilon }^2}=\frac{E(\xi -E\xi {)}^2}{{\epsilon }^2}=\frac{Var\xi }{{\epsilon }^2}$$