Неравенство Маркова

Неравенство Маркова

Для $\forall \epsilon >0$ и $\forall$ случайной величины $\xi$ оценка вероятности через математическое ожидание:

$$P\{|\xi |>\epsilon \}\le \frac{E(|\xi |)}{\epsilon }$$

Доказательство

Оценим вероятность для области исходов $|x|>\epsilon >0$. Из этого условия получаем:

$$\frac{|x|}{\epsilon }>1$$

Для дискретной случайной величины

При $\xi \sim \{x_i,p_i\}$:

$$P\{|\xi |>\epsilon \}=\sum _{|x_i|>\epsilon }{p}_i\le \sum _{|x_i|>\epsilon }{p}_i\cdot \frac{|x_i|}{\epsilon }\boxed{\le }$$

Дополним сумму, добавив слагаемые для недостающей области $|x_i|\le \epsilon$. Так как они неотрицательны, сумма только увеличится:

$$\boxed{\le }\sum _{|x_i|>\epsilon }{p}_i\cdot \frac{|x_i|}{\epsilon }+\sum _{|x_i|\le \epsilon }{p}_i\cdot \frac{|x_i|}{\epsilon }\boxed{=}$$

Сведём к определению математического ожидания:

$$\boxed{=}\sum _i{p}_i\cdot \frac{|x_i|}{\epsilon }=\frac{1}{\epsilon }\underset{E(|\xi |)}{\underbrace{\sum _i|x_i|\cdot p_i}}=\frac{E(|\xi |)}{\epsilon }$$

Для непрерывной случайной величины

При $\xi \sim f(x)$, аналогично:

$$P\{|\xi |>\epsilon \}=\underset{|x|>\epsilon }{\int }f(x)dx\le \underset{|x|>\epsilon }{\int }f(x)\cdot \frac{|x|}{\epsilon }dx\boxed{\le }$$

Дополним интеграл, добавив неотрицательную площадь по оставшейся области $|x|\le \epsilon$, и сведём к определению математического ожидания:

$$\begin{array}{rl}& \boxed{\le }\underset{|x|>\epsilon }{\int }f(x)\cdot \frac{|x|}{\epsilon }dx+\underset{|x|\le \epsilon }{\int }f(x)\cdot \frac{|x|}{\epsilon }dx=\\ & =\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}f(x)\cdot \frac{|x|}{\epsilon }dx=\frac{1}{\epsilon }\underset{E(|\xi |)}{\underbrace{\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}|x|\cdot f(x)dx}}=\frac{E(|\xi |)}{\epsilon }\end{array}$$

Следствие 1

С помощью математического ожидания можно ограничить сверху вероятность того, что случайная величина по модулю превысит $\epsilon >0$.

Следствие 2

$P\{|\xi |>\epsilon \}\le \frac{E|\xi {|}^k}{{\epsilon }^k}$

Доказательство

$$P\{|\xi |>\epsilon \}=P\{|\xi {|}^k>{\epsilon }^k\}\le \frac{E|\xi {|}^k}{{\epsilon }^k}$$