Пример применения неравенств Маркова и Чебышёва для оценки вероятности

Примеры на неравенства Маркова и Чебышёва

Средние ежемесячные расходы на канцелярию для отделения банка составляют $3000$ рублей. СКО не превышает $750$.

Оценить вероятность того, что расходы на канцелярские принадлежности в любой наугад выбранный месяц не превысят $6000$ рублей.

Через неравенство Маркова

Поскольку расходы не могут быть отрицательными, мы можем убрать модуль. Перейдем к противоположному событию и применим неравенство Маркова (знак из-за перехода поменяется):

$$P\{\xi <6000\}=1-P\{\xi \ge 6000\}=1-P\{|\xi |\ge 6000\}\ge 1-\frac{E\xi }{\epsilon }=1-\frac{3000}{6000}=\frac{1}{2}$$ $$P\ge \frac{1}{2}$$

Через неравенство Чебышёва

Расходы неотрицательны, поэтому $\xi \in (0,6000)$. Вычтем из всех частей математическое ожидание $E\xi =3000$ и перейдем к противоположному событию, после чего применим неравенство Чебышёва (знак из-за перехода поменяется):

$$\begin{array}{rl}P\{\xi <6000\}& =P\{0<\xi <6000\}=P\{0-E\xi <\xi -E\xi <6000-E\xi \}=\\ & =P\{-3000<\xi -E\xi <3000\}=P\{|\xi -E\xi |<3000\}=\\ & =1-P\{|\xi -E\xi |\ge 3000\}\ge 1-\frac{Var\xi }{{\epsilon }^2}=\\ & =1-\frac{750^2}{3000^2}=1-{\left(\frac{1}{4}\right)}^2=1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}=0,9375\end{array}$$ $$P\ge 0,9375$$