Распределение Пуассона

Видео

Подробнее изучить тему можно в видео на YouTube

Распределение Пуассона (редких событий)

Случайная величина $\xi$ соответствует распределению $П(\lambda )$ с параметром $\lambda >0$, если она принимает значения $k=0,1,2,\dots$ с вероятностями :

$$P\{\xi =k\}=\frac{{\lambda }^k}{k!}\cdot e^{-\lambda }$$

Ряд распределения:

$$\begin{array}{cccccc}{x}_i& 0& 1& \dots & k& \dots \\ p_i& e^{-\lambda }& \lambda e^{-\lambda }& \dots & \frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }& \dots \end{array}$$

Связь с Биномиальным распределением

Заметим, что значения вероятностей соответствуют формуле Пуассона
Тогда если $n$ большое, а $\lambda$ – фиксированное число, то биномиальное распределение $Bin\left(n,\frac{\lambda }{n}\right)\approx П(\lambda )$

Математическое ожидание

$$E\xi =\lambda$$

Доказательство

$$\begin{array}{rl}& E\xi =\sum _{i=1}^{\infty }{x}_i{p}_i=\sum _{k=0}^{\infty }k\cdot \frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }=e^{-\lambda }\sum _{k=1}^{\infty }\frac{{\lambda }^k}{(k-1)!}=[k-1=m]=\\ & =e^{-\lambda }\cdot \sum _{m=0}^{\infty }\frac{{\lambda }^{m+1}}{m!}=e^{-\lambda }\cdot \lambda \cdot \underset{e^{\lambda }=1+\frac{\lambda }{1!}+\frac{{\lambda }^2}{2!}+\dots }{\underbrace{\sum _{m=0}^{\infty }\frac{{\lambda }^m}{m!}}}=e^{-\lambda }\lambda \cdot e^{\lambda }=\lambda \end{array}$$

Дисперсия

$$Var\xi =\lambda$$

Доказательство

По свойству дисперсии

$$Var\xi =E{\xi }^2-(E\xi {)}^2\boxed{=}$$

Найдем математическое ожидание квадрата

$$\begin{array}{rl}& E{\xi }^2=\sum _{i=1}^{\infty }{x}_i^2\cdot p_i=\sum _{k=0}^{\infty }{k}^2\cdot \frac{e^{-\lambda }}{k!}{\lambda }^k=\sum _{k=1}^{\infty }{k}^{\cancel{2}}\cdot \frac{e^{-\lambda }}{\cancel{k}!}{\lambda }^k=e^{-\lambda }\cdot \sum _{k=1}^{\infty }\frac{k}{(k-1)!}{\lambda }^k=\\ & =e^{-\lambda }\cdot \sum _{k=1}^{\infty }\frac{k-1+1}{(k-1)!}{\lambda }^k=e^{-\lambda }\left(\sum _{k=2}^{\infty }\underset{\text{при }k=1\text{ равен }0}{\underbrace{\frac{k-1}{(k-1)!}{\lambda }^k}}+\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{(k-1)!}{\lambda }^k\right)=\\ & =e^{-\lambda }\left(\sum _{k=2}^{\infty }\frac{{\lambda }^k}{(k-2)!}+\sum _{k=1}^{\infty }\frac{{\lambda }^k}{(k-1)!}\right)=e^{-\lambda }\left({\lambda }^2\cdot \underset{e^{\lambda }=1+\frac{\lambda }{1!}+\frac{{\lambda }^2}{2!}+\dots }{\underbrace{\sum _{k=2}^{\infty }\frac{{\lambda }^{k-2}}{(k-2)!}}}+\lambda \cdot \underset{e^{\lambda }=1+\frac{\lambda }{1!}+\frac{{\lambda }^2}{2!}+\dots }{\underbrace{\sum _{k=1}^{\infty }\frac{{\lambda }^{k-1}}{(k-1)!}}}\right)=\\ & =e^{-\lambda }({\lambda }^2{e}^{\lambda }+\lambda e^{\lambda })={\lambda }^2+\lambda \end{array}$$

Подставим найденные значения

$$\boxed{=}{\lambda }^2+\lambda -{\lambda }^2=\lambda$$

Свойство суммы

Если ${\xi }_1\sim \Pi ({\lambda }_1)$, ${\xi }_2\sim \Pi ({\lambda }_2)$ независимые случайные величины, тогда ${\xi }_1+{\xi }_2\sim \Pi ({\lambda }_1+{\lambda }_2)$.