Распределение Бернулли

Распределение Бернулли

Случайная величина $\xi$ соответствует распределению $B(p)$ с параметром $p\in (0,1)$, если

$$\xi \sim \begin{array}{ccc}{x}_i& 0& 1\\ p_i& 1-p& p\end{array}$$

Описывает одно испытание с двумя исходами: успех (с вероятностью $p$) или неудачей ($1-p$)

Математическое ожидание

$$E\xi =\sum x_i\cdot p_i=0\cdot (1-p)+p=p$$

Дисперсия

$$Var\xi =p(1-p)$$

Доказательство

По свойству дисперсии

$$Var\xi =E{\xi }^2-(E\xi {)}^2\boxed{=}$$

Найдем математическое ожидание квадрата

$$E{\xi }^2=\sum x_i^2{p}_i=0^2(1-p)+1^{2}p=p$$

Подставим найденные значения

$$\boxed{=}p-p^2=p(1-p)$$