Свойства непрерывной случайной величины

Связь плотности и функции распределения

$${\mathcal{F}}_{\xi }^{\prime }(x)=f_{\xi }(x)$$

Следует из определения

Неотрицательность плотности

Пусть $\xi$ – НСВ

$$f_{\xi }(x)\ge 0$$

Следует из свойства монотонного возрастания функции распределения и связи плотности и функции распределения. Производная всегда возрастающей функции не может быть отрицательной.

Плотность всего пространства

Пусть $\xi$ – НСВ

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_{\xi }(x)dx=1$$

Доказательство

Распишем функцию распределения НСВ ${\mathcal{F}}_{\xi }(\infty )$, она по свойству функции распределения равна $1$:

$$\underset{t\to \infty }{\lim }{\mathcal{F}}_{\xi }(t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_{\xi }(x)dx=1$$

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал (строгий конец)

Пусть $\xi$ – НСВ

$$P\{a\le \xi <b\}={\int }_a^b{f}_{\xi }(x)dx$$

Доказательство

Распишем по доказанному свойству функции распределения

$$P\{a\le \xi <b\}={\mathcal{F}}_{\xi }(b)-{\mathcal{F}}_{\xi }(a)$$

Далее распишем определение функции распределения для НСВ и получим требуемое

$${\int }_{-\infty }^b{f}_{\xi }(x)dx-{\int }_{-\infty }^a{f}_{\xi }(x)dx={\int }_a^b{f}_{\xi }(x)dx$$

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в конкретную точку

Пусть $\xi$ – НСВ

$$P\{\xi =a\}=0$$

Доказательство

Пусть $\Delta x\to 0$. Тогда по доказанному свойству попадания в заданный интервал:

$$P\{\xi =a\}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }P\{a\le \xi <a+\Delta x\}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }{\int }_a^{a+\Delta x}{f}_{\xi }(x)dx$$

По теореме о среднем для интегралов:

$$\exists c:{\int }_a^{a+\Delta x}{f}_{\xi }(x)dx=f(c)\cdot (a+\Delta x-a)=f(c)\cdot \Delta x$$

Подставив в предел получим требуемое:

$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }f(c)\cdot \Delta x=0$$

Независимость вероятности от включения границ интервала

Пусть $\xi$ – НСВ

$$P\{a\le \xi <b\}=P\{a<\xi \le b\}=P\{a\le \xi \le b\}=P\{a<\xi <b\}$$

Является следствием из доказанных свойств вероятности попадания в интервал и в конкретную точку