Теорема. Транспонированное сопряжение

Теорема

Если $A$ и $A^{\ast }$ — матрицы линейного оператора и сопряжённого к нему в ортонормированном базисе, то ¹

$$A^{\ast }=A^T.$$

Доказательство

Пусть произвольные векторы $x,y\in L$ имеют координаты-столбцы $x^T,y^T$ в ортонормированном базисе.
По определению сопряжённого оператора

$$(A(x),y)=(x,A^{\ast }(y)).$$

В матричной форме это значит

$$(A{x}^T{)}^T{y}^T=x{A}^{\ast }{y}^T.$$

Но $(A{x}^T{)}^T=x{A}^T$, поэтому

$$x{A}^T{y}^T=x{A}^{\ast }{y}^T.$$

Так как это выполняется для любых $x$ и $y^T$, по лемме 3 получаем

$$A^T=A^{\ast }.$$

¹

линейныйоператор

Footnotes

1. $A^T$ - Транспонированная матрица ↩ ↩²